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Cours de probabilités Année 2021/2022 Table des matières 1 Analyse combinatoire

Cours de probabilités Année 2021/2022 Table des matières 1 Analyse combinatoire 3 1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Arrangement avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Arrangement sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Permutation avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Combinaison sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Probabilités 5 2.1 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Événement et ensemble fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Axiomatique de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.3 Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Variables aléatoires 8 3.1 Déﬁnition d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.1.1 Types de varaibles aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.1.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.1.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1.4 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Caractéristiques d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2.1 Tendance centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2.2 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Lois discrètes usuelles 11 4.1 Loi uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 TABLE DES MATIÈRES 2 4.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Lois continues usuelles 13 5.1 Loi continue uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.4 Loi de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Couple de variables aléatoires 15 6.1 Probabilité conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.1.2 Expérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.2 Probabilité marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.3 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.4 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.5 Covariance de deux Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.6 Corrélation entre deux Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CHAPITRE UN ANALYSE COMBINATOIRE 1.1 Déﬁnitions Déﬁnition 1.1.1 Tirage sans répétition : C’est un tirage à l’issu duquel un élément peut appa- raitre au maximum une seule fois. Déﬁnition 1.1.2 Tirage avec répétition : C’est un tirage à l’issu duquel un élément peut appa- raitre plusieurs fois. Déﬁnition 1.1.3 Tirage ordonnée : l’ordre dŠobtention d’un élément est important. Déﬁnition 1.1.4 Tirage non-ordonnée : l’ordre d’obtention d’un élément n’est pas important, on n’en tient pas compte dans la caractérisation de la disposition. Exemple 1 : On considère un ensemble à deux éléments {a, b} et on effectue deux tirages. -Sans remise? -Avec remise? Exemple 2 : Prenons un jeu de dé à 6 faces numérotées par Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Après 3 jets, nous obtenons la réalisation A = (2; 5; 1); nous réitérons les jets et nous obtenons B = (5; 1; 2). A et B sont équivalents si nous considérons que les dispositions sont non-ordonnées. En revanche, ils ne sont pas équivalents si nous sommes dans le cadre d’une disposition ordonnée. uploads/Religion/ cours-proba 1 .pdf