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Loi normale ou loi de guass laplace quot suthb quot

Cours de probabilités ?? statistiques inférentielles M Ra ?estin La loi normale ou loi de Laplace-Gauss ou loi de Gauss ?? Les fondamentaux La distribution normale est une distribution théorique en ce sens qu'elle est une idéalisation mathématique qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature Mais de nombreuses distributions réellement observées s ? en rapprochent et ont cette fameuse forme de cloche ? beaucoup d ? individus autour de la moyenne de moins en moins au fur à mesure qu ? on s ? en éloigne et ceci de façon symétrique D'autre part elle est très utilisée en statistiques inférentielles nous verrons en particulier qu ? une moyenne calculée sur un échantillon est une v a qui tend à suivre une loi normale quand la taille de l ? échantillon augmente même si la population initiale a une tout autre distribution a ?? Sa forme la courbe en cloche La loi normale de paramètres m et ? notée N m ? est dé ?nie sur R par la densité f x F EBF EC F F F F F ED ?? x ??m e F F ? ? ? dont la représentation graphique est la suivante Notons que la droite x m est axe de symétrie - les points d ? in exion sont situés à une distance ? de cet axe de symétrie b ?? Le théorème Central-limit Le TCL sera très précieux puisqu ? il nous explique que si on fait la somme d ? un très grand nombre de variables aléatoires de loi quelconque cette somme suit approximativement une loi normale en fait sans rentrer dans le détail des hypothèses il nous dit que la variable X X X ? Xn tend à suivre une loi normale quand n tend vers l ? in ?ni D ? une part cela nous permet de comprendre pourquoi autant de distributions observées dans la réalité ont approximativement cette forme de cloche elles décrivent des phénomènes qui résultent de l ? addition d ? un grand nombre de causes de uctuation indépendantes Exemple la taille d ? un individu CD ? autre part cela nous permettra d ? approcher beaucoup de lois par une loi normale pour peu que la variable étudiée s ? exprime comme une somme d ? un grand nombre de variables indépendantes C ? est le cas notamment de la variable binomiale somme de n variables de Bernoulli indépendantes dont la loi tend à prendre la forme d ? une cloche ? quand n augmente Cela reste possible même quand on ne conna? t pas loi des variables Xi ?? Espérance et variance Soit X une v a qui suit la loi N m ? Par raison de symétrie E X m et on montre facilement que V X ? donc le paramètre ? correspond à l ? écart-type d ? o? les notations ? Ainsi gr? ce à ses paramètres la loi normale permet de décrire des distributions de moyenne quelconque on ? translate