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Ma examen corrige 1 Mécanique Analytique examen ?nal - Epreuve du juin durée h sans document ni calculatrice Exercice Chariot points Un chariot de masse M peut glisser sur des rails le long de l ? axe x sans friction A l ? extrêmité d ? une tige rigide de

Mécanique Analytique examen ?nal - Epreuve du juin durée h sans document ni calculatrice Exercice Chariot points Un chariot de masse M peut glisser sur des rails le long de l ? axe x sans friction A l ? extrêmité d ? une tige rigide de longeur l et de masse nulle est ?xée une masse m La masse m est plongée dans un potentiel V k cos Il n ? y a pas de gravité Quelle est la dimension de la constante k Combien de degrés de liberté le système compte-t-il Déterminer le Lagrangien Quelles sont les quantités conservées Pourquoi Expliciter leur forme Déterminer les équations du mouvement A l ? aide des quantités conservées écrire l ? équation di ?érentielle satisfaite par i e cette équation ne doit pas dépendre des autres coordonnées Faisons maintenant l ? hypothèse M m i e m M m a Déterminer par analyse dimensionnelle la forme de la fréquence d ? oscillation de m b Réécrire l ? équation di ?érentielle satisfaite par en tenant compte de cette hypothèse c Montrer que cette dernière est une équation du type ??oscillateur harmonique ? pour z ?? cos i e z ? ?? ? z dont la fréquence satisfait l ? analyse du point a d Considérer les conditions initiales xM x M ? ? Avec i Trouver les conditions initiales pour z t ii En déduire la trajectoire z t iii Ainsi que t et xM t iv Esquisser t pour et Exercice Sélection de potentiels points On considère un système type L m q ?? V q et on va étudier di ?érents potentiels possibles Tous les paramètres sont positifs Pour les esquisses donner toutes les indications nécessaire à la compréhension axes graduation légende I VI q ?? cos q L ? q L a On suppose une situation qui admet trois minima Esquisser le potentiel et indiquer sans les calculer les énergies limite entre les di ?érents régimes b Esquisser les orbites représentatives dans l ? espace de phase CII VII q ? tanh q ??a L ?? tanh q a L a Trouver le minimum et les comportements asymptotiques b Esquisser le potentiel c Identi ?er les régimes possibles et esquisser des orbites pour chaque cas dans l ? espace de phase d Trouver la fréquence d ? oscillation autour du minimum et prendre la limite a L III VIII q q ?? ? q q a Esquisser le potentiel b Trouver le minimum c Esquisser les orbites représentatives dans l ? espace de phase d Trouver l ? équation du mouvement pour q sans la résoudre e Quelques étapes pour donner du sens à ce Lagrangien i Donner le Lagrangien en coordonnées sphériques r pour une planète de masse m qui tourne autour un soleil de masse M m ii Trouver l ? équation du mouvement selon r iii Dans l ? équation ci-dessus poser ? et utiliser la conservation du moment cinétique Lz mr a ?n d ?