Correction de l’épreuve de mathématiques - nationale 2020 session normale - Bac

Correction de l’épreuve de mathématiques - nationale 2020 session normale - Baccalauréat Sciences Mathématiques A & B - Réalisé par Ayoub Fahame Email : fahameayoub2001maths@gmail.com Page 1 Exercice n°1 : On considère dans  ×  l’équation :  ∶7 −13 = 5 . 1- Soit le couple ;  ∈ ×  une solution de l’équation  : a) Montrons que  et 13 sont premiers entre eux : Soit  =  ∧ 13 donc / et /13 alors / et /−13 donc :  /7 /−13  d’où : /5 Et puisque 5 est premier alors :  = 1 ou  = 5 . Si  = 5 donc 5/13 ce qui est absurde et par suite :  = 1 . Alors :  ∧ 13 = 1 . b) On a 13 un nombre premier et ne divise pas  C.-à-d.  ∧ 13 = 1 Alors selon le petit théorème de Fermat :   ≡1 13 donc :  ≡1 13 . c) On a selon l’équation  : 7 −13 = 5 donc : 7 ≡5 13 et puisque 13 × 5 = 65 alors : 7 ≡5 + 13 × 5 13 donc : 7 ≡70 13 d’où : 13/7 −10 et puisque : 7 ∧ 13 = 1 donc selon le théorème de Gauss : 13/ −10 donc :  ≡10 13 . d) D’après la question précédente :  ≡10 13 donc :  ≡10! 13 et on sait que : 10 ≡9 13 alors : 10! ≡9 13 alors 10! ≡−4 13 donc : 10! ≡16 13 d’où finalement 10! ≡3 13 Ainsi :  ≡3 13 . 2- On a selon la question 1- b) :  ≡1 13 et selon la question 1- d)  ≡3 13 alors : 1 ≡3 13 d’où : 2 ≡0 13 ce qui est bien évidemment absurde ; Ainsi l’équation :  ∶7 −13 = 5 n’admet pas de solutions dans  ×  . Correction de l’épreuve de mathématiques - nationale 2020 session normale - Baccalauréat Sciences Mathématiques A & B - Réalisé par Ayoub Fahame Email : fahameayoub2001maths@gmail.com Page 2 Exercice n°2 : 1- a) Montrons que E est une partie stable de M &';× : On a :  ( ≠* car & ∈( pour le couple ,  = 0,1 ;  (⊂M2&' ; Soient maintenant ,,  et ,-, . deux éléments de E où ,  ∈&' × &'∗ et -, . ∈&' × &'∗ on a : ,,  × ,-, . = 01  0 1 × 21 - 0 .3 = 01 . + - 0 . 1 = ,. + -, . et puisque : ∀, , -, . ∈&' × &'∗× &' × &'∗ ; . + - ∈&' 56 . ∈&'∗ alors : ,. + -, . ∈( d’où : ,,  × ,-, . ∈( ; Il en résulte que : E est une partie stable de M &' ; × . b) Pour exhiber un contre exemple ; prenons les deux matrices suivantes : 7 = 21 2 0 33 ∈( et 8 = 21 3 0 23 ∈( . On a : 7 × 8 = 21 2 0 33 × 21 3 0 23 = 21 7 0 63 et 8 × 7 = 21 3 0 23 × 21 2 0 33 = 21 11 0 6 3 Donc : 7 × 8 ≠8 × 7 ; On en déduit que : La multiplication n’est pas commutative dans ( . c) Soit  ∈&' et ∈&'∗ ; On a : 01  0 1 × 9 1 − : ; 0  ; < = =1 − : ; + : ; 0 1 > = 21 0 0 13 Idem pour : 9 1 − : ; 0  ; < × 01  0 1 = 21 0 0 13 D’où : ∀,  ∈&' × &'∗ ; 01  0 1 × 9 1 − : ; 0  ; < = 9 1 − : ; 0  ; < × 01  0 1 = 21 0 0 13 . 2- Montrons que (; × est un groupe non commutatif : On a : Correction de l’épreuve de mathématiques - nationale 2020 session normale - Baccalauréat Sciences Mathématiques A & B - Réalisé par Ayoub Fahame Email : fahameayoub2001maths@gmail.com Page 3  La loi " × " est bien associative dans ( par le fait que le produit matriciel est associatif dans M &' ;  On vérifie facilement que pour toute matrice , de ( on a : , × & = & × , = , et puisque la loi " × " est associative dans ( donc l’élément neutre s’il existe alors il est unique donc : La loi " × " possède & comme l’élément neutre dans ( ;  On a selon la question 1- c) : ∀,  ∈&' × &'∗ ; 01  0 1 × 9 1 − : ; 0  ; < = 9 1 − : ; 0  ; < × 01  0 1 = 21 0 0 13 donc tout élément de ( possède son propre élément symétrique dans ( ;  La loi " × " n’est pas commutative dans ( . Conclusion : (; × est un groupe non commutatif . 3- a) Montrons que @ est un homomorphisme de &'∗;× vers A ; × :  Soient  ∈&'∗ et ∈&'∗ : On a @ ×  = , ×  = 01  −1 0  1 ;  De plus on a : @ × @  = , × ,  = 21  −1 0  3 × 01 −1 0 1 = 01 −1 +  −1 0  1 = 01  −1 0  1 . Donc : ∀,  ∈&'∗× &'∗ ; @ ×  = @ × @  ; Alors il en découle que : @ est un homomorphisme de &'∗;× vers A ; × . 3- b) Remarque : Trivialement on montre la bijectivité de l’application @ ; alors : @ est un isomorphisme de &'∗;× vers A ; × . Et puisque &'∗;× est un groupe commutatif (usuel) donc A ; × est un groupe commutatif de neutre @ = 1 B éDéEFGH GFIHJF KF LM∗ > = ,1 = 21 0 0 13 = & Finalement : A ; × est un groupe commutatif de neutre & = 21 0 0 13 . Correction de l’épreuve de mathématiques - nationale 2020 session normale - Baccalauréat Sciences Mathématiques A & B - Réalisé par Ayoub Fahame Email : fahameayoub2001maths@gmail.com Page 4 Exercice n°3 : & On considère dans l’ensemble N l’équation : ( ∶O −2PO + 2P O −P = 0 1- a) Puisque m est une solution de ( on aura ce qui suit : ( ⇔ O −PO −PO + P  = 0 ⇔O −P = 0 ou O −PO + P = 0 On a le discriminant de (Q ∶ O −PO + P = 0 : ∆= P −4P = −3P = ST√3PV D’où : O = P + T√3P 2 56 O = P −T√3P 2 Donc : O = P =1 + T√3 2 > 56 O = P =1 −T√3 2 > Conclusion : W = XP ; P =1 + T√3 2 > ; P =1 −T√3 2 >Y 2- a) Rappel : Pour une équation de la forme -O + .O + Z = 0 avec O et O sont les deux solutions On a : O O = Z - 56 O + O = −. - Revenons à notre question : On a : 1 O + 1 O = O + O [ \ ]\ ^ _Q O O [ ] ^ _Q` = P P = 1 P Donc : 1 O + 1 O = 1 P Correction de l’épreuve de mathématiques - nationale 2020 session normale - Baccalauréat Sciences Mathématiques A & B - Réalisé par Ayoub Fahame Email : fahameayoub2001maths@gmail.com Page 5 2- b) On a : a O = P 2 bc√ 3 O = P 2 c√ 3  ⇒ dO = P5ce f O = P5ce f  ⇒ a O = 21 + 5ce f3 5ce f O = 21 + 5ce f3 5ce f  ⇒ a O = 2 cos 2 j k3 5ce l5ce f O = 2 cos 2 j k3 5ce l5ce f  Alors : O = 2 √ 5c2e lbe f3 = √35ce ` = T√3 et O = √3 5ce l = √3 2√ −T  3 = −T √ D’où : O = T√3 et O = −T √ . && 1- Pour répondre à cette question calculons le rapport suivant : mnmo mnmo = Qpqe f Qprqe uploads/Science et Technologie/ correction-2020-sm-maths.pdf

Tags
Science et Technologiealors mathématiques correction l’épreuve nationale
Documents similaires
  • 26
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager