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Facult´ e de Technologie D´ epartement de Technologie L1 (ST) Section B + Group

Facult´ e de Technologie D´ epartement de Technologie L1 (ST) Section B + Groupe : D2 Ann´ ee universitaire 2020-2021 Mai 2021 Corrig´ e devoir maison n◦01 de Maths 2 −Primitives et Int´ egrales − Exercice 1 – Calculer les primitives suivantes : 1. R sin(x) cos3(x)dx. On a, Z sin x cos3 xdx = Z sin x cos−3 xdx = − Z −sin x cos−3 xdx = −cos−3+1 x −3 + 1 + c, c ∈R = −cos−2 x −2 + c, c ∈R = 1 2 cos2 x + c, c ∈R. L’utilisation de R f ′(x)f n(x)dx = fn+1(x) n+1 + c. 2. R 15−6x x2−5x+2020dx. On a, Z 15 −6x x2 −5x + 2020dx = −3 Z 2x −5 x2 −5x + 2020dx = −3 ln | x2 −5x + 2020 | +c, c ∈R. L’utilisation de R f′(x) f(x) dx = ln | f(x) | +c. 3. R 2 arctan(x)dx. On pose u(x) = arctan(x) ⇒ u′(x) = 1 1 + x2, v′(x) = 2 ⇒ v(x) = 2x, et l’on int` egre par parties, ce qui donne : Z 2 arctan(x)dx = 2x arctan(x) − Z 2x x2 + 1dx = 2x arctan(x) −ln | x2 + 1 | +c, c ∈R = 2x arctan(x) −ln(x2 + 1) + c, c ∈R. Page 1/2 4. R 2x x+2dx (par deux m´ ethodes) : M´ ethode 1 : Z 2x x + 2dx = 2 Z x + 2 −2 x + 2 dx = 2 Z (1 + −2 x + 2)dx = 2x −4 ln | x + 2 | +c, c ∈R. M´ ethode 2 (Par changement de variable) : On pose t = x + 2 ⇒dt = dx d’o` u Z 2x x + 2dx = 2 Z t −2 t dt = 2 Z (t t + −2 t )dt = 2 Z (1 + −2 t )dt = 2t −4 ln | t | +c, c ∈R = 2(x + 2) −4 ln | x + 2 | +c, c ∈R = 2x −4 ln | x + 2 | +2 + c, c ∈R = 2x −4 ln | x + 2 | +C, C = 2 + c ∈R. Page 2/2 uploads/Science et Technologie/ corrige-devoir-n01.pdf