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UNIVERSITE des SCIENCES et de la TECHNOLOGIE d'ORAN Faculté des mathématiques e

UNIVERSITE des SCIENCES et de la TECHNOLOGIE d'ORAN Faculté des mathématiques et Informatique, Département de Mathématiques 1e année Master Analyse mathématique et application. Module : Théorie spectrale Devoir à la maison Exercice 1. Soit H = l2(R) et l'application Tn : H →H, n ∈N⋆dé nie par Tn(x) = (x1, x2 α , x3 α2, ..., xn αn−1, 0, 0, ...) où (x1, x2, ..., xn, ..) ∈H avec α > 1 1. Montrer que Tn est un opérateur linéaire borné de rang ni (∀n ∈N⋆) 2. En déduire que l'opérateur T : H →H dé nie par T(x) = (x1, x2 α , x3 α2, ..., xn αn−1, ., ., ...) est hermitien compact et σ ̸= ∅ Exercice 2. Soit T ∈L(H) (H est un espace de Hilbert) un opérateur normal injetif . 1. Montrer que si T est à image dense (ℑT = H) il est injectif. 2. Montrer que le spectre résiduel de T est vide : (σr(T) = ∅). Corrigé Exercice 1. (6 pt) Soit H = l2(R) et Tn(x) = (x1, x2 α , x3 α2, ..., xn αn−1, 0, 0, ...) où (x1, x2, ..., xn, ..) ∈ H avec α > 1 1) Tn est linéaire. (0.5pt) En eet soient x, y ∈H et λ, µ ∈R Tn(λx + µy) = (λx1 + µy1, λx2+µy2 α , λx3+µy3 α2 , ..., λxn+µyn αn−1 , 0, 0, ...) = λ(x1, x2 α , x3 α2, ..., xn αn−1, 0, 0, ...)+µ(y1, y2 α , y3 α2, ..., yn αn−1, 0, 0, ...) = λTx + µTy Tn est borné :(1pt) ∥Tnx∥2 = n X k=1 | xk αk−1 |2 ≤(sup α>1 1 α(2k−2) n X k=1 |xk|2 ≤ n X k=1 |xk|2 = ∥x∥2 (car ( 1 α(2k−2) < 1 ) donc ∥Tnx∥≤∥x∥. T est borné (1pt)( ∥Tx∥2 = ∞ X n=1 | xn αn−1 |2 ≤(sup α>1 1 α(2n−2) ∞ X n=1 |xk|2 = ∥x∥2 ) et d'aprés le corollaire 2 ( Si T est limite en norme d'une suite d'opérateur de rang ni Il est compacte) On doit montrer que lim n→∞∥Tn −T∥= 0 (1.5pt). ∥Tn −T∥= sup ∥x∥≤1 ∥(Tn −T)(x)∥l2(R) = sup ∥x∥≤1 (0, 0, ..., xn+1 αn , xn+2 αn+1 , ., ..) ≤sup ∥x∥≤1 (sup k≤n 1 αk ( ∞ X k=n+1 |xk|2) 1 2) = sup k≤n 1 αk →0(n →∞) 2)T est hermitien (autoadjoint) (1pt) Soient x, y ∈H ⟨Tx, y⟩= ∞ X n=1 xn αn−1yn = ∞ X n=1 xn yn αn−1 = ⟨x, Ty⟩D'aprés le Théorème 33 σ(T) ̸= ∅(1pt)(car il est compact). Exercice 2.(4pt) T est normal si et seulement si ∥Tx∥= ∥T ⋆x∥∀x ∈H et T est injective implique T ⋆est injetif (T ⋆x = 0 ⇒∥T ⋆x∥= 0 ⇒∥Tx∥= 0 ⇒Tx = 0 ⇒x = 0)(1pt) d'aprés la proposition 9 et ker T ⋆= 0 = (ℑT)⊥⇒ℑT = H donc T est à image dense(1pt). 2)Si T est normal pour tout λ ∈C Tλ = T −λId est normal (Tλ ◦T ⋆ λ(1pt) = T ⋆ λ ◦Tλ) . Si λ ∈σ(T) alors ou bien Tλ n'est pas injectif dans ces cas λ ∈σp(T) ou bien Tλ est injectif il est alors à image dense d'aprés la question 1 il sera dans σc(T) . Donc σr(T) = ∅(1pt) 1 uploads/Science et Technologie/ corrige-du-devoir-a-la-maison.pdf