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Algèbre I pour la Licence Scientiﬁque Filières SMP, SMC, MIPC et Prépa. Profess

Algèbre I pour la Licence Scientiﬁque Filières SMP, SMC, MIPC et Prépa. Professeur Mostafa ABOUNOUH Université Cadi-Ayyad 2 Préface Alors que la réforme de l’enseignement supérieur est en marche, nos étu- diants ont besoin d’outils pédagogiques adaptés aux exigences du passage au système L-M-D (Licence, Master, Doctorat). Ce volume de la collection Réussir les Mathématiques en Licence et Prépa. couvre le programme d’algèbre de la première année de la Licence scientiﬁque. Il a été conçu en respectant les ﬁches techniques des modules d’algèbre des ﬁlières sciences de la matière physique (SMP), sciences de la matière chimie (SMC) et la ﬁlière mathématique, informatique, physique et chimie (MIPC). Ce volume est aussi utile pour les étudiants des classes préparatoires aux écoles d’ingénieurs et les étudiants des ﬁlières sciences ma- thématiques (SM) et sciences mathématiques et informatique (SMI). Chaque chapitre de ce volume comporte : • un rappel de cours copieusement illustré par des exemples. Nous avons tenu à ce que chaque déﬁnition, chaque proposition et chaque théorème soient suivis d’exemples détaillés pour les illustrer, les rendre moins abstraits et préparer l’étudiant à aborder les exercices ; • une collection d’exercices typiques recouvrant les diﬀérentes parties du cours ainsi que leurs solutions détaillées. Ces solutions se réfèrent d’une manière systématique et répétitive aux résultats du cours pour per- mettre à l’étudiant une assimilation profonde de ces résultats. Nous avons aussi inclus deux sujets d’examen avec leurs solutions pour per- mettre aux étudiants de s’auto-tester. Nous pensons que ce volume sera un outil de travail précieux pour les étu- diants aﬁn de les aider à préparer leurs examens et, surtout, à développer leurs capacités d’auto-formation qualité indispensable pour la poursuite de leurs études supérieures. M. Boucetta Professeur à l’Université Cadi-Ayyad Directeur de la collection Table des matières 1 Logique, raisonnement et langage mathématique 7 1.1 Eléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Raisonnements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Ensemble, éléments, appartenance, inclusion . . . . . . . . . . 12 1.4 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Relations binaires et applications . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Lois de composition : groupes, anneaux et corps . . . . . . . . 20 1.7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Polynômes réels ou complexes 29 2.1 Déﬁnition de K[X] et propriétés générales . . . . . . . . . . . 29 2.2 Division euclidienne et propriétés arithmétiques de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Racines des polynômes, théorème de d’Alembert et ses appli- cations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Fractions rationnelles 55 3.1 Déﬁnitions et propriétés algébriques de K(X) . . . . . . . . . 55 3.2 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . 58 3.2.2 Exemples de décomposition en éléments simples . . . . 61 3.3 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 Espaces vectoriels et applications linéaires 75 4.1 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.1 Exemples usuels d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 76 3 4 4.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . . . 78 4.2.2 Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . 79 4.3 Famille libre, famille liée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.5 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.6.2 Image et Noyau d’une application linéaire . . . . . . . 85 4.6.3 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . 87 4.6.4 Applications linéaires d’un K-espace vectoriel de di- mension ﬁnie dans un K-espace vectoriel . . . . . . . . 88 4.7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 Matrices réelles ou complexes 117 5.1 L’ensemble des matrices Mp,n(K) : déﬁnitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.3 Structure d’espace vectoriel de Mp,n(K) . . . . . . . . . . . . 122 5.4 Produit des matrices et ses applications . . . . . . . . . . . . . 123 5.5 Formules de changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6 Déterminants 149 6.1 Déterminant d’une matrice carrée : déﬁnition . . . . . . . . . 149 6.2 Déterminant d’une matrice carrée : propriétés . . . . . . . . . 152 6.2.1 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . 155 6.3 Applications des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3.1 Indépendance linéaire de n vecteurs dans un e.v. de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3.2 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible . . . 157 6.3.3 Calcul du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . 158 6.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7 Systèmes linéaires 173 7.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.2 Résolution du système (7.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.3 Méthode de pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5 7.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8 Diagonalisation des endomorphismes 197 8.1 Endomorphismes diagonalisables uploads/Science et Technologie/ cours-algebre-mip-s1-exercices.pdf