Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de

Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique COURS DE MATHEMATIQUES COURS DE MATHEMATIQUES KHALID SBAI KHALID SBAI Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES Ecole Supérieure de Technologie Ecole Supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique kh.sbai@yahoo.fr kh.sbai@yahoo.fr Université Moulay Ismaïl Université Moulay Ismaïl Enseignant Enseignant – Chercheur Chercheur Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Chapitre V Chapitre V TRANSFORMEE DE LAPLACE TRANSFORMEE DE LAPLACE Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES TRANSFORMEE DE LAPLACE TRANSFORMEE DE LAPLACE Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Dans Dans le le cas cas contraire, contraire, multiplions multiplions x(t) x(t) par par une une exponentielle exponentielle décroissante décroissante telle telle que que I. INTRODUCTION: DE LA TF A LA TL I. INTRODUCTION: DE LA TF A LA TL Soit la TF d'un signal x(t) : Soit la TF d'un signal x(t) : 2 ( ) ( ) j t X x t e dt πυ υ +∞ − −∞ =∫ Cette TF existe si Cette TF existe si l'intégrale converge l'intégrale converge ( ) < t x t e dt σ +∞ − ∞ ∫ avec avec σ σ σ σ σ σ σ σ>0. Calculons la TF de ce nouveau signal >0. Calculons la TF de ce nouveau signal Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES ( ) < t x t e dt σ − −∞ ∞ ∫ avec avec σ σ σ σ σ σ σ σ>0. Calculons la TF de ce nouveau signal >0. Calculons la TF de ce nouveau signal Posons Posons On obtient: On obtient: Définition Définition de la TL du signal de la TL du signal x 2 ( 2 ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t j t j t X x t e e dt X x t e dt σ πυ σ πυ υ σ υ σ +∞ +∞ − − − + −∞ −∞ = ⇒ = ∫ ∫ 2 p j σ πυ = + ( ) ( ) pt X p x t e dt +∞ − −∞ = ∫ Transformée de Laplace = généralisation de la TF : décomposition Transformée de Laplace = généralisation de la TF : décomposition de x(t) sur une base de fonctions exponentielles de x(t) sur une base de fonctions exponentielles ept pt (avec p complexe) (avec p complexe) Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique X(p) n'est défini que si l'intégrale X(p) n'est défini que si l'intégrale converge converge I.1 CONVERGENCE DE LA TL I.1 CONVERGENCE DE LA TL ( ) ( ) pt X p x t e dt +∞ − −∞ = ∫ avec p = avec p = σ σ σ σ σ σ σ σ + j2 + j2πν πν πν πν πν πν πν πν Domaine de convergence: Domaine de convergence: on appelle Région de Convergence (RC) on appelle Région de Convergence (RC) de la TL, l'ensemble des complexes p tels que l'intégrale ci de la TL, l'ensemble des complexes p tels que l'intégrale ci-dessous dessous converge: converge: Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES [ ] ( ) ( ) ( )exp( . ) X p L x t x t p t dt ∞ −∞ = = − ∫ l’existence de X(p) suppose la convergence de l’intégrale l’existence de X(p) suppose la convergence de l’intégrale on dit que X(p) est " l’image " de x(t) et que x est on dit que X(p) est " l’image " de x(t) et que x est l'original de X. l'original de X. converge: converge: On note: On note: Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique I.2 EXEMPLES. I.2 EXEMPLES. Fonction exponentielle x(t) = Fonction exponentielle x(t) = eat atΓ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ(t) . (t) . 0 0 ( ) 1 0 t t t <  Γ = + >  Fonction Echelon unité (fonction de Heaviside): Fonction Echelon unité (fonction de Heaviside): [ ] 0 1 ( ) ( ) exp( . ) p>0. L t p p t dt p ∞ Γ = − = ∫ Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p a t X p L x t p e t dt ∞ − − −∞ = = Γ ∫ ( ) 0 ( ) p a t X p e dt ∞ − − ⇒ = ∫ ( ) 0 ( ) ( ) p a t e X p p a +∞ − −   ⇒ =   − −   ( ) 1 ( ) lim 1 a p t t X p e a p − →+∞   ⇒ = −   − Cette limite est nulle si a Cette limite est nulle si a-p < 0 p < 0 i.e. i.e. Re Re(p) > a (p) > a D’où D’où Or a Or a-p = a p = a-σ σ σ σ σ σ σ σ-j2 j2π π π π π π π πf ( ) ( 2 ) lim lim a p t a j f t t t e e σ π − − − →+∞ →+∞ = 1 ( ) X p p a = − Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique II. TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE II. TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE Étant donnée une fonction F(p), est Étant donnée une fonction F(p), est-il possible de trouver f définie il possible de trouver f définie de R de R+→C telle que L( f )(p) =F(p) ? Si f existe, est →C telle que L( f )(p) =F(p) ? Si f existe, est-elle unique ? elle unique ? Soit E = { f : R Soit E = { f : R+→ C} l’ensemble des fonctions vérifiant : → C} l’ensemble des fonctions vérifiant : i) i) ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀f f ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈E, f est continue E, f est continue ii) ii) ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀f f ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈E, il existe K > 0 et a E, il existe K > 0 et a ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈R tels que | f (t)| ≤ R tels que | f (t)| ≤ Ke Keat at. ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ Théorème : Théorème : Khalid Khalid SBAI SBAI – COURS COURS DE DE MATHEMATIQUE MATHEMATIQUE APPLIQUEES APPLIQUEES ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ii) ii) ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀ ∀f f ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈E, il existe K > 0 et a E, il existe K > 0 et a ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈R tels que | f (t)| ≤ R tels que | f (t)| ≤ Ke Ke . Si deux fonctions f, g Si deux fonctions f, g ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈E admettent la même transformée de E admettent la même transformée de Laplace F(p), alors f = g Laplace F(p), alors f = g Soit F(p) = L[f](p) la transformée de Laplace d’une fonction Soit F(p) = L[f](p) la transformée de Laplace d’une fonction f(t). On appelle transformée de Laplace inverse, ou original, f(t). On appelle transformée de Laplace inverse, ou original, de F(p) la fonction f(t). On note : de F(p) la fonction f(t). On note : f(t) = L f(t) = L−1 −1[F(p)](t) [F(p)](t) Si F(p) = L( f )(p), on note f (t) = L Si F(p) = L( f )(p), on note f (t) = L−1 −1(F)(t). (F)(t). Définition: Définition: Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Département de Génie Electrique Ecole supérieure de Technologie Ecole supérieure de uploads/Science et Technologie/ cours-math-tl.pdf