ROYAUME DU MAROC المملكة المغربية ,Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la

ROYAUME DU MAROC المملكة المغربية ,Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique CONCOURS NATIONAL COMMUN d'Admission dans les Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés Édition 2021 - 2014 ÉPREUVE D'INFORMATIQUE Partie : Calcul Numérique Filières : MP/PSI/TSI Durée 2 heures Page de garde Préparation CNC : Informatique Prof Youness : 06 78 26 25 20 Épreuve d’Informatique – Session 2020 – Filière MP Page 2 sur 9 Partie I : Calcul numérique Équation de la diffusion thermique On considère une barre solide de longueur L, de coefficient de diffusion thermique D. La barre est initialement "préparée" dans un état de température Tbarre. Les deux extrémités de la barre sont maintenues à une température extérieure constante Textr. L’équation de la diffusion thermique à une dimension, est la suivante : () (, )  =  ∗ (, )  Avec : U(x, t) est la température de la position x dans la barre, à un instant t. L’équation (E) admet une solution unique : (, ) =  + ∗  ( − !(")) ∗!# $" % & ∗ '( ) *" %   ∗∗ +, ∶ =  " (.+  − ) On suppose que les variables globales suivantes, sont déclarées et initialisées par les valeurs suivantes :  L = 1.0 Longueur de la barre  D = 0.2 Coefficient de diffusion thermique  T = 1.4 Durée totale de l’évolution de la température  Tbarre = 100.0 Température de la barre  Textr = 20.0 Température extérieure Épreuve d’Informatique – Session 2020 – Filière MP Page 3 sur 9 Dans cette partie, on suppose que les modules numpy et matplotlib.pyplot sont importés : import numpy np import matplotlib.pyplot as pl Q.1- Écrire, en Python, la fonction f définie par : /(, , ) =  ( − !(")) ∗!# $" % & ∗*" %   ∗∗ Q.2- Écrire la fonction U(x,t) qui reçoit en paramètres deux réels x et t. La fonction retourne la valeur de U(x, t) qui correspond à la somme partielle d’indice m=200 : (, ) =  +  " (.+  − ) ∗ /(, , ) 0 ) Q.3- Écrire le programme permettant de tracer la représentation graphique suivante, qui représente l’évolution de la température dans les points x de la barre, à intervalle de temps égal à 0.1s, sachant que la barre est subdivisée en 100 points, et l’indice de la somme partielle est m=200. NB : Chaque courbe représente la température à chaque point x de la barre à un instant t. Épreuve d’Informatique – Session 2020 – Filière PSI Page 2 sur 9 Partie I : Calcul numérique Équation de la diffusion thermique Solution numérique On considère une barre solide de longueur L, de coefficient de diffusion thermique D. La barre est initialement "préparée" dans un état de température Tbarre. Les deux extrémités de la barre sont maintenues à une température extérieure constante Textr. L’équation de la diffusion thermique à une dimension, est la suivante :   ,  =  ∗   ,   Avec : U(t, x) est la température de la position x dans la barre de la barre, à l’instant t. On recherche une solution numérique à ce problème par la méthode classique des différences finies. Supposons que nous cherchions l’évolution de U(t, x) sur une durée totale T. La durée totale T d’évolution est subdivisée en n sous-intervalles de durée :  =   Ainsi, l’instant "discret" ti est : ti = i * dt avec i∈  ,  De même, la barre de longueur L est spatialement subdivisée en p tronçons de longueur :  =   Ainsi, l’abscisse "discrète" xi est : xi = i * dx avec i ∈  ,  On suppose que les variables globales suivantes, sont déclarées et initialisées :  L = 1.0 La longueur de la barre  D = 0.3 Le coefficient de diffusion thermique  T = 1.0 La durée totale de l’évolution  Tbarre = 100.0 La température de la barre  Textr = 20.0 La température extérieure  n = 10000 Le nombre de subdivision de T  p = 100 Le nombre de subdivision de L Épreuve d’Informatique – Session 2020 – Filière PSI Page 3 sur 9 On suppose que les modules numpy et matplotlib.pyplot sont importés : import numpy as np import matplotlib.pyplot as pl Q.1- Écrire la fonction vecteur_init() qui retourne un vecteur U de longueur p+1, tel que :  U[i] = Textr si i = 0 ou i = p  U[i] = Tbarre si 1 ≤ i ≤ p-1 La fonction vecteur_init () retourne le vecteur U suivant : [ 20. 100. 100. 100. … 100. 100. 100. 20. ] Chaque élément U[i] représente la température du point i*dx dans la barre, à l’instant t0 = 0 s . L’équation de la diffusion thermique (E) discrétisée s’écrit sous forme d’une relation de récurrence qui permet d’obtenir la température de la barre à l’instant ti+1 en fonction de la température de la barre à l’instant ti : Si le vecteur U représente la température de la barre à l’instant ti, alors la température de la barre à l’instant ti+1 est représentée par le vecteur V, tel que :  Si i = 0 ou i = p alors [ ] = [ ]  Si 1 ≤ i ≤ p-1 alors [ ] = [ ] +  ∗  ∗ [ −#] − ∗ [ ] + [ + #] Q.2- Écrire la fonction differences_finies(U) qui reçoit en paramètre un vecteur U qui représente la température de la barre à un instant ti. La fonction retourne le vecteur V qui représente la température de la barre à l’instant ti+1. Q.3- Écrire le programme qui trace la représentation graphique de l’évolution de la température de la barre, à intervalle de temps égal à 0.1s NB : Chaque courbe représente la température de la barre à un instant t Page 2 sur 9 Épreuve d’Informatique – Session 2020 – Filière MP-PSI Partie I : Calcul numérique Équation de la diffusion thermique On considère une barre solide de longueur L, de coefficient de diffusion thermique D. La barre est initialement "préparée" dans un état de température Tbarre. Les deux extrémités de la barre sont maintenues à une température extérieure constante Textr. L’équation de la diffusion thermique à une dimension, est la suivante : () (, )  =  ∗ (, )  Avec : U(x, t) est la température de la position x dans la barre, à un instant t. L’équation (E) admet une solution unique : (, ) =  + ∗  ( − !(")) ∗!# $" % & ∗ '( ) *" %   ∗∗ +, ∶ =  " (.+  − ) On suppose que les variables globales suivantes, sont déclarées et initialisées par les valeurs suivantes :  L = 1.0 Longueur de la barre  D = 0.2 Coefficient de diffusion thermique  T = 1.4 Durée totale de l’évolution de la température  Tbarre = 100.0 Température de la barre  Textr = 20.0 Température extérieure Épreuve d’Informatique – Session 2020 – Filière MP-PSI Page 3 sur 9 Dans cette partie, on suppose que les modules numpy et matplotlib.pyplot sont importés : import numpy np import matplotlib.pyplot as pl Q.1- Écrire, en Python, la fonction f définie par : /(, , ) =  ( − !(")) ∗!# $" % & ∗*" %   ∗∗ Q.2- Écrire la fonction U(x,t) qui reçoit en paramètres deux réels x et t. La fonction retourne la valeur de U(x, t) qui correspond à la somme partielle d’indice m=200 : (, ) =  +  " (.+  − ) ∗ /(, , ) 0 ) Q.3- Écrire le programme permettant de tracer la représentation graphique suivante, qui représente l’évolution de la température dans les points x de la barre, à intervalle de temps égal à 0.1s, sachant que la barre est subdivisée en 100 points, et l’indice de la somme partielle est m=200. NB : Chaque courbe représente la température à chaque point x de la barre à un instant t. Épreuve d’Informatique – Session 2020 – Filière TSI Page 2 sur 8 Partie I : Calcul numérique Intégration numérique Méthode de "Simpson" En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale d’une fonction f sur un intervalle [a, b] :    Ces techniques procèdent en trois phases : a. Décomposition de l’intervalle [a, b] en sous-intervalles contigus ; b. Intégration approchée de la fonction sur chaque sous-intervalle ; c. Sommation des résultats numériques ainsi obtenus. Méthode de Simpson : La méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, est une technique qui utilise l'approximation d'ordre 2 de f par un polynôme quadratique P prenant les mêmes valeurs uploads/Science et Technologie/ edition-20-21-2014-concours-national-commun.pdf

Tags
Science et Technologiematrice fonction écrire épreuve session
Documents similaires
  • 10
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager