Université Abdelhamid Ibn Badis – Mostaganem Année 2012-2013 Faculté des Scienc

Université Abdelhamid Ibn Badis – Mostaganem Année 2012-2013 Faculté des Sciences et de la Technologie 2i eme Année LMD-ST(S :B, C) Examen de Rattrapage" maths 3 " Exercice N 1 :[10pts] I) Étudier les séries de termes généraux: (a) Vn = en n! nn (b) Wn = 1 + (1)n pn 1 + n (c) Tn = cos n2 n 3 2 II) Considérons la série de terme général : Un = 1 pn 1 2 pn + 1 pn + 1 . 1. On pose Sn = U2 + U3 + :::: + Un . Calculer Sn . 2. En déduire la nature de la série X n2 Un . Exercice N 2 :[05pts] 1) Soit la série de terme général : Un (x) = xn Donner le rayon de convergence et la somme de série entière +1 X n=0 Un (x) : 2) Étudier les séries dérivées +1 X n=1 U 0 n (x) et +1 X n=2 U 00 n (x) : 3) Développer en série entière la fonction: f (x) = 1 + x (1 x)3 Exercice N 3 :[05pts] Développer en série de Fourier la fonction f de période 2 dé…nie par: f (x) = 8 < : x 2 si x 2 ]0; [  + x 2 si x 2 ]; 0[ Rappel : Les coe¢cients de Fourier de f : a0 = 1 2  Z  f (x) dx ; an = 1   Z  f (x) cos (nx) dx et bn = 1   Z  f (x) sin (nx) dx pour n  1 1 2i eme Année LMD-ST Corrigé de l’Examen de Rattrapage Module : Maths 3 Exercice N 1 :[10pts] I) (a) En utilisant la règle de d’Alembert Vn+1 Vn = e(n+1) (n + 1)! (n + 1)n+1  nn enn! = e1  n n + 1 n Or lim n!+1 Vn+1 Vn = 1 e2 < 1 La série X n Vn est donc convergente. (b) On a: Wn = 1 1 + n + (1)n pn 1 + n  La série X n1 1 1 + n diverge (car 1 1 + n s 1 n diverge )  La série X n1 (1)n pn 1 + n coverge par le critère de Leibniz car : Un = (1)n pn 1 + n = (1)n an avec an = pn 1 + n 1) an > 0 pour tout n  1 2) lim n!+1an = lim n!+1 pn 1 + n = lim n!+1 1 pn = 0 3) (an)n est décroissante car ( f : x ! px 1 + x; f 0 (x) = (x 1) 2px (1 + x)2 < 0) X n1 Wn est somme d’une série divergente et d’une série convergente. Elle est donc divergente. (c) jTnj = cos n2 n 3 2  1 n 3 2 La série X n1 1 n 3 2 converge ( série de Riemann avec = 3 2) Par comparaison La série X n1 Tn est absolument convergente. La série X n1 Tn est donc convergente 1 II) 1) On peut écrire: U2 = 1 p 1 2 p 2 + 1 p 3 U3 = 1 p 2 2 p 3 + 1 p 4 U4 = 1 p 3 2 p 4 + 1 p 5 ....................................... Un2 = 1 pn 3 2 pn 2 + 1 pn 1 Un1 = 1 pn 2 2 pn 1 + 1 pn Un = 1 pn 1 2 pn + 1 pn + 1 d’où en additionnant membre à membre Sn = 1 p 1 1 p 2 1 pn + 1 pn + 1 . 2) lim n!+1Sn = 1 1 p 2 . La série X n2 Un est donc convergente et a pour somme 1 1 p 2. Exercice N 2 :[05pts] 1) On a +1 X n=0 xn = 1 1 x pour x 2 ]1; 1[ (R = 1) 2)Soit g (x) = +1 X n=0 Un (x) = +1 X n=0 xn  g (x) = 1 1 x   La série dérivée +1 X n=1 U 0 n (x) a même rayon de convergence (R = 1) que la série +1 X n=1 Un (x) et a pour somme g0 (x) :  La série dérivée +1 X n=2 U 00 n (x) a même rayon de convergence (R = 1) que la série +1 X n=1 U 0 n (x) et a pour somme g00 (x) : Alors, +1 X n=1 U 0 n (x) = +1 X n=1 n xn1 = 1 (1 x)2 et +1 X n=1 U 00 n (x) = +1 X n=2 n (n 1) xn2 = 2 (1 x)3 2 3) On peut écrire: f (x) = 1 + x (1 x)3 = 2 (1 x) (1 x)3 = 2 (1 x)3 1 (1 x)2 Par la question (2) 1 (1 x)2 = +1 X n=1 n xn1 = +1 X n=0 (n + 1) xn et 2 (1 x)3 = +1 X n=2 n (n 1) xn2 = +1 X n=0 (n + 2) (n + 1) xn Alors, f (x) = +1 X n=0 [(n + 2) (n + 1) (n + 1)] xn = +1 X n=0 (n + 1)2 xn (R = 1) Exercice N 3 :[05pts] Calcul de a0 : a0 = 1 2  Z  f (x) dx = 1 2 2 4  Z 0 x 2 dx + 0 Z    + x 2  dx 3 5 = 1 2 2 4 0 Z  dx +  Z  x 2 dx 3 5 = 1 2 "  [x]0  + x2 4   # =  2  Calcul de an :(n  1) an = 1   Z  f (x) cos (nx) dx = 1  2 4  Z 0 x 2 cos (nx) dx + 0 Z    + x 2  cos (nx) dx 3 5 = 1  2 4 0 Z   cos (nx) dx +  Z  x 2 cos (nx) dx 3 5 = 0 Z  cos (nx) dx + 1 2  Z  x cos (nx) dx = sin (nx) n 0  + 1 2  Z  x cos (nx) dx = 1 2 2 4 x sin (nx) n   1 n  Z  sin (nx) dx 3 5 = 1 2n  Z  sin (nx) dx = 1 2n cos (nx) n   = 0 3  Calcul de bn : (n  1) bn = 1   Z  f (x) sin (nx) dx = 1  2 4  Z 0 x 2 sin (nx) dx + 0 Z    + x 2  sin (nx) dx 3 5 = 1  2 4 0 Z   sin (nx) dx +  Z  x 2 sin (nx) dx 3 5 = 0 Z  sin (nx) dx + 1 2  Z  x sin (nx) dx =  cos (nx) n 0  + 1 2 2 4  x cos (nx) n   + 1 n  Z  cos (nx) dx 3 5 = 1 n  La série de Fourier associée à f est Sf (x) = a0 + +1 X n=1 [an cos (nx) + bn sin (nx)] =  2 +1 X n=1 1 n sin (nx) 4 uploads/Science et Technologie/ examen-corrige-maths-3.pdf

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