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Classe: Terminale Accueil » Fonctions exponentielles - Fonctions puissances - C

Classe: Terminale Accueil » Fonctions exponentielles - Fonctions puissances - Croissances comparées - Ts Fonctions exponentielles - Fonctions puissances - Fonctions exponentielles - Fonctions puissances - Croissances comparées - Ts Croissances comparées - Ts I Définition et propriétés I Définition et propriétés I.1 Définition I.1 Définition La fonction f(x) = lnx est continue et strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ donc, c'est une bijection de ]0 ; + ∞[ vers R d'où, f admet une bijection réciproque f −1 qui est continue et strictement croissante de R vers ]0 ; + ∞[. f −1 est appelée fonction exponentielle notée : exp(x) = ex I.2 Propriétés I.2 Propriétés ⋅ lnx = y si, et seulement si, ey = x ⋅ lnex = x , eln x = x ⋅ a = b si, et seulement si, ea = eb ⋅ a ≥b si, et seulement si, ea ≥eb ⋅ ea+b = ea × eb On a : a = lnx ⇔ x = ea et b = lny ⇔ y = eb donc, ea+b = eln x+ln y = eln xy = xy = ea × eb D'où : ea+b = ea × eb ⋅ e −a = 1 ea En effet, on a : a = lnx ⇔ x = ea Donc, e −a = e −ln x = eln 1 x = 1 x = 1 ea D'où, e −a = 1 ea ⋅ ea−b = ea eb ⋅ ∀p ∈Z , (ea)p = epa Collège Collège Sixième Cours Math 6e Exo Maths 6e Sciences de la Vie 6e Cinquième Sciences de la vie 5e Sciences de la terre 5e Math 5e Cours Maths 5e Exo Maths 5e Quatrième Cours Maths 4e Exo Math 4e PC 4e Cours PC 4eme Exo PC 4e Histoire 4e SVT 4e Science de La Vie 4e Science de la terre 4e Exo SVT 4e Exos Sciences de la Vie 4e Exos sciences de la terre 4e Troisième PC 3e Cours PC 3e Cours Physique 3e Cours Chimie 3e Exo PC 3e Exos Physique 3e Exos chimie 3e BFEM PC Histoire Maths 3e Cours Maths 3e Exos maths 3e BFEM Maths QCM Maths 3e SVT 3e Science de La Terre 3e Science de La Vie 3e Exo SVT 3e BFEM SVT Lycée Lycée Seconde Math 2nd Cours Maths 2nd Exo maths 2nd Devoir Maths 2nd PC 2nd Cours PC 2nd Exo PC 2nd Accueil Cours Exercices Devoirs Vidéo QCM Nous contacter Créer un compte Fascicule des partenaires Nous soutenir ⋅ e0 = 1 ⋅ (ex) ′ = ex En effet, soit f(x) = y = lnx alors, f −1(y) = x = ey. Par suite, (f −1) ′(y) = (ey) ′ = 1 f ′(x) = 1 1 x = x = ey D'où : (ex) ′ = ex ⋅ (eu) ′ = u ′ × eu avec u, une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R. Exercice d'application Exercice d'application Simplifier les écritures des nombres A et B suivants : A = e5 × e −3 (e3)2 B = ex × e2−y e −y+x + e0 Résolution Résolution A = e5 × e −3 (e3)2 = e5−3 e2×3 = e2 e6 = e2−6 = e −4 = 1 e4 D'où : A = 1 e 4 B = ex × e2−y e −y+x + e0 = e2 × ex × e −y e −y × ex + 1 = e2 + 1 D'où : B = e2 + 1 II Équations - Inéquations II Équations - Inéquations Exemple Exemple Résoudre dans R a) e3x + e2x −10ex + 8 = 0 b) 2ex + e −x −2 ≤0 Résolution Résolution a) L 'équation peut se mettre sous la forme (ex)3 + (ex)2 −10ex + 8 = 0. Posons X = ex Cours SVT Seconde Première Maths 1ere Cours Maths 1ere Exos Maths 1ere Devoir Maths 1ere PC Première Cours PC 1ere Exo PC Première Cours SVT Première Terminale Maths Terminale Cours Maths TS Exos Maths Terminale PC Terminale Cours PC Terminale Exo PC Terminale SVT Terminale Exos SVT Terminale Philosophie Cours Philo Savoir-faire Philo Texte Philo Exo Philo Histoire Géographie Connexion utilisateur Connexion utilisateur Nom d'utilisateur * Mot de passe * Créer un nouveau compte Demander un nouveau mot de passe ( ) Se connecter Se connecter Donc, l'équation qui devient X3 + X2 −10X + 8 = 0 admet comme solutions 1, -4 et 2. Par suite, après retour sur le changement de variable on obtient : ex = 1 ⇒ x = ln1 = 0 ex = −4 impossible ex = 2 ⇒ x = ln2 D'où, S = {0 ; ln2} b) On a : 2e2x + e −x −2 ≤0 ⇔ 2ex + 1 ex −2 ≤0 ⇔ 2e2x −2ex + 1 ex ≤0 Or, ex > 0 donc, le signe de 2e2x −2ex + 1 ex dépend uniquement du signe de 2e2x −2ex + 1. Posons X = ex alors, 2e2x −2ex + 1 devient 2X2 −2X + 1. Δ = 4 −8 = −4 < 0 donc, le trinôme 2X2 −2X + 1 est toujours positif. Par suite, 2e2x −2ex + 1 > 0 , ∀x ∈R. Par conséquent, 2ex + e −x −2 ≤0 est impossible. D'où, S = ∅ III Courbe et compléments III Courbe et compléments Soit g la fonction définie par g(x) = ex de courbe représentative Cg alors, Dg = R et g ′(x) = ex On sait que : ex ≥x , ∀x ∈R et que lim x→+∞ x = + ∞ donc, d'après le théorème de comparaison on a : lim x→+∞ g(x) = + ∞ D'où : lim x→+∞ ex = + ∞ Calculons alors lim x→+∞ g(x) x On a : lim x→+∞ g(x) x = lim x→+∞ ex x = lim x→+∞ ex eln x = lim x→+∞ ex−ln x = lim x→+∞ ex(1− ln x x ) = +∞ car lim x→+∞ 1 − lnx x = 1 Donc, lim x→+∞ g(x) x = + ∞ D'où : lim x→+∞ ex x = + ∞ ( ) Ainsi, Cg admet une branche parabolique de direction (y ′Oy). lim x→−∞ g(x) = lim x→−∞ ex = lim X→+∞ e −X avec X = −x = lim X→+∞ 1 eX = 0 Donc, lim x→−∞ g(x) = 0 D'où : lim x→−∞ ex = 0 Par conséquent, Cg admet en −∞, une asymptote horizontale d'équation y = 0. Par ailleurs, g ′(x) = ex > 0 donc, g est strictement croissante. Tableau de variation x −∞ +∞ g ′(x) + +∞ g ↗ 0 Soit T0 et T1 les tangentes à Cg respectivement aux points d'abscisses 0 et 1 alors on a : T0 : y = g ′(0)(x −0) + g(0) = x + 1 Donc, T0 : y = x + 1 T1 : y = g ′(1)(x −1) + g(1) = e(x −1) + e = ex D'où : T1 : y = ex Représentation graphique Remarque Remarque Les fonctions f(x) = lnx et g(x) = ex étant réciproques alors, leur courbe représentative Cf et Cg sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation y = x. Autres limites Autres limites La fonction g(x) = ex est dérivable sur R donc dérivable en 0. Par suite, lim x→0 ex −1 x = lim x→0 g(x) −g(0) x −0 = g ′(0) = 1 D'où : lim x→0 ex −1 x = 1 lim x→−∞ xex = lim X→+∞ −Xe −X avec X = −x = lim X→+∞ − X eX = 0 Ainsi, lim x→−∞ xex = 0 lim x→0 xex = lim x→0 eln xex = lim x→0 eln x+x = 0 car lim x→0 (lnx + x) = −∞ Donc, lim x→0 xex = 0 IV Fonctions exponentielles de base IV Fonctions exponentielles de base a a > > 0 0 , , a a ≠ ≠1 1 IV.1 Définition IV.1 Définition On appelle fonction exponentielle de base a > 0 , a ≠1 la fonction ga(x) = ax = exln a IV.2 Étude IV.2 Étude Soit ga la fonction définie par ga(x) = ax = exln a de courbe représentative Cga. Alors, Dga = R et on a : lim x→−∞ ga(x) = lim x→−∞ exln a = +∞ si 0 < a < 1 0 si a > 1 lim x→+∞ ga(x) = lim x→+∞ exln a = 0 si 0 < a < 1 +∞ si a > 1 Par suite, ⋅ si 0 < a < 1 alors : lim x→+∞ exln a = 0 Donc, la droite d'équation y = 0 est une asymptote horizontale à Cga en +∞. lim x→−∞ exln a = + ∞ Calculons alors, lim x→−∞ ga(x) x . On a : lim x→−∞ ga(x) x = lim x→−∞ exln a x = lim X→+∞ eX X lna avec X = xlna = −∞ Ainsi, Cga admet une branche parabolique de direction (y ′Oy). ⋅ si a > 1 uploads/Science et Technologie/ fonctions-exponentielles-fonctions-puissances-croissances-comparees-ts-sunudaara.pdf