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Classe: Terminale Accueil » Fonctions logarithmes - Ts Fonctions logarithmes -

Classe: Terminale Accueil » Fonctions logarithmes - Ts Fonctions logarithmes - Ts Fonctions logarithmes - Ts I Définition et propriétés I Définition et propriétés I.1 Définition I.1 Définition On appelle fonction logarithmique népérien la fonction notée ln qui est définie sur ]0 ; + ∞[ et qui vérifie (lnx) ′ = 1 x et ln1 = 0 ln : ]0 ; + ∞[ ⟶ R x ⟼ lnx Remarques Remarques Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R alors : ⋅ lnu existe si u > 0 ⋅ ln | u | existe si u ≠0 ⋅ lnu2 existe si u ≠0 Exercice d'application Exercice d'application Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes : f1(x) = ln2x , f2(x) = ln(4x + 3) , f3(x) = ln | x | f4(x) = ln x + 3 x −2 , f5(x) = ln(x2 −4x + 3) f6(x) = ln(9 −x2) + ln(x2 + x) Résolution Résolution f1(x) ∃ ⇔ 2x > 0 ⇔ x > 0 Donc, x ∈]0 ; + ∞[, d'où Df1 = ]0 ; + ∞[ f2(x) ∃ ⇔ 4x + 3 > 0 ⇔ x > − 3 4 Ainsi, Df2 = − 3 4 ; + ∞ f3(x) ∃ ⇔ x ≠0 Donc, Df3 = R ∖{0} f4(x) ∃ ⇔ x + 3 x −2 ≠ 0 ⇔ (x + 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ −3 Or, on sait que x + 3 x −2 existe si, et seulement si, x ≠2 Collège Collège Sixième Cours Math 6e Exo Maths 6e Sciences de la Vie 6e Cinquième Sciences de la vie 5e Sciences de la terre 5e Math 5e Cours Maths 5e Exo Maths 5e Quatrième Cours Maths 4e Exo Math 4e PC 4e Cours PC 4eme Exo PC 4e Histoire 4e SVT 4e Science de La Vie 4e Science de la terre 4e Exo SVT 4e Exos Sciences de la Vie 4e Exos sciences de la terre 4e Troisième PC 3e Cours PC 3e Cours Physique 3e Cours Chimie 3e Exo PC 3e Exos Physique 3e Exos chimie 3e BFEM PC Histoire Maths 3e Cours Maths 3e Exos maths 3e BFEM Maths QCM Maths 3e SVT 3e Science de La Terre 3e Science de La Vie 3e Exo SVT 3e BFEM SVT Lycée Lycée Seconde Math 2nd Cours Maths 2nd Exo maths 2nd Devoir Maths 2nd PC 2nd Cours PC 2nd Exo PC 2nd Accueil Cours Exercices Devoirs Vidéo QCM Nous contacter Créer un compte Fascicule des partenaires Nous soutenir | | ] [ Par suite, Df4 = R ∖{−3 ; 2} f5(x) ∃ ⇔ x2 −4x + 3 > 0 ⇔ x ∈] −∞; 1[ ∪]3 ; + ∞[ D'où, Df5 = ] −∞; 1[ ∪]3 ; + ∞[ f6(x) ∃ ⇔ 9 −x2 > 0 x2 + x > 0 ⇔ x ∈] −3 ; 3[ x ∈] −∞; −1[ ∪]0 ; + ∞[ ⇔ x ∈] −3 ; −1[ ∪]0 ; 3[ Ainsi, Df6 = ] −3 ; −1[ ∪]0 ; 3[ I.2 Propriétés I.2 Propriétés ⋅ (lnx) ′ = 1 x , (lnu) ′ = u ′ × 1 u = u ′ u , (ln | u | ) ′ = u ′ u avec u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R. ⋅ Soit f(x) = lnx, on a : f : ]0 ; + ∞[ ⟶ R x ⟼ lnx et f ′(x) = 1 x > 0 donc, f est strictement croissante. Tableau de variation x 0 +∞ f ′(x) | | + | | f | | ↗ | | De plus : − si 0 < x ≤1 alors, lnx ≤0 − si x > 1 alors, lnx > 0 ⋅ a > 0 et soit g la fonction définie par g(x) = lnax. On a : Dg = ]0 ; + ∞[ et g est dérivable sur ]0 ; + ∞[. Soit g ′(x) = a ax = 1 x = f ′(x) donc, g(x) = f(x) + c ∀x > 0 Par suite, g(1) = f(1) + c ce qui entraîne que c = lna D'où : lnax = lnx + lna ⋅ On a : a × 1 a = 1 et soit f(x) = lnx une fonction continue et strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ donc bijective. D'où : ln a × 1 a = ln1 ⇒ lna + ln 1 a = 0 Par conséquent, ln 1 a = −lna , a > 0 ⋅ a > 0 , b > 0 alors on a : Cours SVT Seconde Première Maths 1ere Cours Maths 1ere Exos Maths 1ere Devoir Maths 1ere PC Première Cours PC 1ere Exo PC Première Cours SVT Première Terminale Maths Terminale Cours Maths TS Exos Maths Terminale PC Terminale Cours PC Terminale Exo PC Terminale SVT Terminale Exos SVT Terminale Philosophie Cours Philo Savoir-faire Philo Texte Philo Exo Philo Histoire Géographie Connexion utilisateur Connexion utilisateur Nom d'utilisateur * Mot de passe * Créer un nouveau compte Demander un nouveau mot de passe { { ( ) Se connecter Se connecter ln a b = ln a × 1 b = lna + ln 1 b Donc, ln a b = lna −lnb ⋅ a > 0 , lnap = plna p ∈Z Démontrons par récurrence ⋅ p > 0 Pour p = 1 on a lna = lna et 1lna = lna donc, la proposition est vérifiée. Supposons que lnan = nlna et montrons que lnan+1 = (n + 1)lna. On a : lnan+1 = ln(an × a) = lnan + lna = nlna + lna = (n + 1)lna Donc, ∀n ∈N , lnan = nlna ⋅ p ∈Z ∖N ⇒ p = −n avec n ∈N On a : lnap = lna −n = ln 1 an = −lnan = −nlna = plna D'où : ∀p ∈Z , lnap = plna ⋅ lim x→+∞ lnx On sait que lim x→+∞ f(x) = + ∞ se traduit par : ∀A > 0 , ∃B > 0 tel que si x ≥B alors f(x) ≥A Donc, ∀A = nln2 , ∃B > 0 tel que si x ≥B alors f(x) ≥nln2 En posant B = 2n on obtient : x ≥2n ⇒ lnx ≥2n D'où : lim x→+∞ lnx = + ∞ ⋅ lim x→0 + lnx On a : lim x→0 + lnx = lim X→+∞ ln 1 X avec X = 1 x = lim X→+∞ ( −lnX) = −∞ ( ) ( ) ( ) ( ) Donc, lim x→0 + lnx = −∞ ⋅ f(x) = lnx est une fonction continue et strictement croissante de ]0 ; + ∞[ vers R donc c'est une bijection. Ainsi, 1 ∈R alors, il existe un unique x0 ∈]0 ; + ∞[ tel que f(x0) = 1 D'où : x0 = e ≃2.72 ⋅ a ≥b si, et seulement si, lna ≥lnb ⋅ a > 0 alors on a : a = (√a)2 ⇒ lna = ln(√a)2 ⇒ lna = 2ln√a ⇒ ln√a = 1 2lna D'où, ln√a = 1 2lna Remarque : Remarque : plne = lnep Exercice d'application Exercice d'application Donner les valeurs de : ln9 , ln6 , ln 16 49 , ln 5√5 8 sachant que ln2 ≃0.69 , ln3 ≃1.09 , ln5 ≃1.69 , ln7 ≃1.94 Résolution Résolution ln9 = ln32 = 2ln3 ≃ 2 × 1.09 ≃ 2.18 Donc, ln9 ≃2.18 ln6 = ln(2 × 3) = ln2 + ln3 ≃ 0.69 + 1.09 ≃ 1.78 Donc, ln6 ≃1.78 ln 16 49 = ln 4 7 2 = 2ln 4 7 = 2(ln4 −ln7) ≃ 2(2 × 0.69 −1.94) ≃ −1.12 Donc, ln 16 49 ≃−1.12 ( ) ln 5√5 8 = ln5√5 −ln8 = ln5 + ln√5 −ln(2√2)2 = ln5 + 1 2ln5 −2ln2√2 = ln5 + 1 2ln5 −2 ln2 + 1 2ln2 ≃ 1.69 + 1 2 × 1.69 −2 0.69 + 1 2 × 0.69 ≃ 2.535 −2.07 ≃ 0.465 Donc, ln 5√5 8 ≃0.465 II Équations - Inéquations II Équations - Inéquations Exemple Exemple Résoudre dans R 1) ln(2x −3) = −1 2) ln(3x + 5) −ln(x −2) = 1 3) ln2x −4lnx + 3 ≥0 Résolution Résolution 1) ln(2x −3) = −1 existe ⇔ 2x −3 > 0 ⇔ x > 3 2 D'où, DE = 3 2 ; + ∞ Par suite, on a : ln(2x −3) = −1 ⇒ ln(2x −3) = −lne ⇒ ln(2x −3) = ln 1 e ⇒ 2x −3 = 1 e ⇒ x = 1 2e + 3 2 Comme 1 2e + 3 2 ∈DE alors, S = 1 2e + 3 2 2) ln(3x + 5) −ln(x −2) = 1 existe ⇔ 3x + 5 > 0 x −2 > 0 ⇔ x > − 5 3 x > 2 Ainsi, DE = ]2 ; + ∞[ Par conséquent, ( ) ( ) ] [ ( ) { } { { ln(3x + 5) uploads/Science et Technologie/ fonctions-logarithmes-ts-sunudaara.pdf