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Maths4 td 6 support Analyse T TD n octobre novembre Introduction aux distributions Fonctions tests Distributions sur R Exemples de distributions Dérivation multiplication Equations di ?érentielles Distributions sur Rn Exercices corrigés Introduction Pierr

Analyse T TD n octobre novembre Introduction aux distributions Fonctions tests Distributions sur R Exemples de distributions Dérivation multiplication Equations di ?érentielles Distributions sur Rn Exercices corrigés Introduction Pierre-Jean Hormière Il est arrivé à maintes reprises que certaines exigences de la physique par exemple aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des calculs ? non rigoureusement justi ?ables au moyen des concepts mathématiques existants mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale C ? est ainsi qu ? en l ? ingénieur Heaviside - introduisit dans l ? étude des réseaux électriques les règles de son calcul symbolique qui ne fut justi ?é mathématiquement que postérieurement L ? étude des équations aux dérivées partielles conduisait aussi à des extensions des matériaux mathématiques traditionnels Le problème de Dirichlet trouver une fonction harmonique dans un ouvert de Rn connaissant ses valeurs sur la frontière avec les méthodes de l ? espace de Hilbert a conduit les mathématiciens à généraliser les solutions acceptables d ? une telle équation en introduisant la notion de solution faible Le soviétique Serguei Sobolev - a construit en des classes de fonctions généralisées qui justi ?aient de manière rigoureuse ce genre de considération Les transformations de Fourier et de Laplace conduisaient aussi à généraliser des fonctions En P A M Dirac - introduisait en physique mathématique sa célèbre fonction ? ? nulle en dehors de l ? origine et d ? intégrale égale à qui représentait une impulsion unité à l ? instant t donc d ? e ?et nul pour t ?? Puisque ? n ? est pas une fonction au sens usuel car une fonction nulle pour t ?? est d ? intégrale nulle sa justi ?cation mathématique correcte conduisait à une extension de la notion de fonction Cette extension a été présentée sous sa forme actuelle entre et par le français Laurent Schwartz - dans le cadre des espaces vectoriels topologiques parmi ses nombreuses applications citons les équations aux dérivées partielles linéaires la représentation des groupes de Lie les processus stochastiques les variétés di ?érentiables la physique mathématique la physique expérimentale déconvolution ? et identi ?cation de systèmes Comme le note Roger Godement La théorie générale des distributions qui valut à Schwartz la première médaille Fields française en ne contenait aucun théorème vraiment profond ? ?? il n ? en est pas de même à beaucoup près de ses applications ?? et demandait seulement ? la capacité de détecter des analogies entre une douzaine de Tirée de l ? Encyclopedia universalis Paul Krée Cdomaines disparates et d ? isoler le principe général qui uni ?erait tout Les philosophes des sciences appellent cela un paradigme une vision nouvelle qui non seulement met de l ? ordre et de la clarté dans le chaos mais aussi et surtout permet de poser de nouveaux problèmes La gravitation universelle l ? analyse de Newton et Leibniz la théorie atomique en chimie les théories de l ? évolution de Darwin de l ? hérédité de Mendel les bactéries de Pasteur