Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Integrate de chemin en mecanique quantique : introduction Cette page est laissé

Integrate de chemin en mecanique quantique : introduction Cette page est laissée intentionnellement en blanc. Jean Zinn-Justin Integrate de chemin en mecanique quantique : introduction S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences/CNRS EDITIONS Illustration de couverture : Un chemin contribuant a 1'integrale (Fig.2.1, p.39). © 2003, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Pare d'activites de Courtabceuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS EDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous precedes reserves pour tous pays. Toute reproduction ou representation integrate ou partielle, par quelque precede que ce soit, des pages publiees dans le present ouvrage, faite sans 1'autorisation de 1'editeur est illicite et constitue une contrefagon. Seules sont autorisees, d'une part, les reproductions strictement reservees a 1'usage prive du copiste et non destinees a une utili- sation collective, et d'autre part, les courtes citations justifiees par le caractere scientifique ou d'information de 1'ceuvre dans laquelle elles sont incorporees (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriete intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent etre realisees avec 1'accord de 1'editeur. S'adresser au : Centre frangais d'exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tel. : 01 43 26 95 35. ISBN EDP Sciences 2-86883-660-7 ISBN CNRS EDITIONS 2-271-06164-4 Table des matieres Introduction xi Bibliographie xvii 1 Quelques preliminaires mathematiques 1 1.1 Fonction generatrice 2 1.2 Valeurs nioyennes gaussiennes. Theoreme de Wick 2 1.2.1 Matrices reelles 3 1.2.2 Integrate gaussienne generate 4 1.2.3 Valeurs moyennes gaussiennes et theoreme de Wick . . 5 1.3 Mesure gaussienne perturbee. Contributions connexes 7 1.3.1 Mesure gaussienne perturbee 7 1.3.2 Diagrammes de Feynman. Contributions connexes . . . 8 1.4 Valeurs moyennes. Fonction generatrice. Cumulants 9 1.4.1 La fonction a deux points 10 1.4.2 Fonctions generatrices. Cumulants 11 1.5 Methode du col 12 1.5.1 Integrate reelle 12 1.5.2 Integrate de contour complexe 15 1.6 Methode du col a plusieurs variables. Application aux fonctions generatrices 17 1.6.1 Fonction generatrice et methode du col 18 1.7 Techniques algebriques fonctionnelles 19 1.7.1 Fonctionnelle generatrice. Derivee fonctionnelle 19 1.7.2 Determinants d'operateurs 20 1.8 Integrate gaussienne : matrices complexes 22 Exercices 25 2 L'integrate de chemin 31 2.1 Processus markoviens locaux 32 2.1.1 Evolution markovienne 32 2.1.2 Elements de matrice et localite 33 2.1.3 Exemple : evolution libre ou mouvement brownien . . . 34 vi Integrate de chemin en mecanique quantique 2.2 Solution de 1'equation devolution aux temps courts 36 2.3 Integrate de chemin 39 2.4 Evaluation explicite : integrates de chemin gaussiennes 41 2.4.1 Le mouvement libre 41 2.4.2 L'oscillateur harmonique 43 2.5 Fonction de partition. Fonctions de correlation 44 2.6 Calcul de 1'integrale de chemin gaussienne generate 46 2.6.1 Integrate de chemin gaussienne generate 46 2.6.2 Fonctions de correlation gaussiennes, theoreme de Wick 48 2.7 Oscillateur harmonique : la fonction de partition 50 2.7.1 Calcul direct de la fonction de partition gaussienne . . 51 2.7.2 Calcul avec temps continu 53 2.8 Oscillateur harmonique perturbe 54 2.9 Developpement perturbatif en puissances de H 56 2.10 Developpement semi-classique 57 2.11 Integrate de chemin et principe variationnel 61 Exercices 64 3 Fonction de partition et spectre d'hamiltonien 67 3.1 Calcul perturbatif 67 3.2 Developpement semi-classique ou BKW 70 3.2.1 Spectre et poles de la resolvante 71 3.2.2 Approximation semi-classique 72 3.2.3 Exemples 74 3.2.4 Approximation BKW et equation de Schrodinger . . . 75 3.3 Le potentiel quartique avec symetrie O(N) pour N —> oo . . . . 77 3.3.1 Une integrate ordinaire pour TV —> oo 78 3.3.2 Integrate de chemin 80 3.3.3 Energie du fondamental 83 3.4 Hamiltonien : unicite du fondamental 85 Exercices 86 4 Mecaniques statistiques quantique et classique 89 4.1 Fonction de partition classique. Matrice de transfert 90 4.2 Fonctions de correlation 92 4.2.1 Fonctions de correlation et matrice de transfert . . . . 92 4.2.2 Limite thermodynamique et comportement a grande distance 93 4.3 Modele classique a basse temperature : un exemple 94 4.4 Limite continue et integrate de chemin 96 4.4.1 Limite continue 96 4.4.2 Fonctions de correlation et limite continue 98 4.5 La fonction a deux points : calcul perturbatif, representation spectrale 100 4.5.1 Calcul perturbatif 101 Table des matieres vii 4.5.2 Representation spectrale 102 4.6 Formalisme d'operateurs. Produits chronologiques 104 Exercices 105 5 Integrates de chernin et quantification 111 5.1 Transformations de jauge Ill 5.2 Couplage au champ magnetique : invariance de jauge 113 5.2.1 Invariance de jauge classique 113 5.2.2 Invariance de jauge quantique 115 5.2.3 Invariance de jauge et integrale de chemin 115 5.3 Quantification et integrale de chemin 116 5.3.1 Temps discrets et limite continue 117 5.3.2 Ambiguite et calcul perturbatif 118 5.4 Champ magnetique : calcul direct 120 5.5 Diffusion, marche au hasard, equation de Fokker-Planck . . . . 122 5.5.1 Un exemple simple : marche au hasard ou mouvement brownien 123 5.5.2 Equation de diffusion generale 124 5.6 Le spectre du rotateur rigide avec symetrie 0(2) 126 5.6.1 Integrale de chemin 127 5.6.2 Spectre de 1'hamiltonien 128 5.6.3 Autre parametrisation 130 Exercices 131 6 Integrale de chemin 135 6.1 Integr ales complexes et theoreme de Wick 136 6.1.1 Integrates gaussiennes 137 6.1.2 Integrale gaussienne generale 138 6.2 Representation holomorphe 139 6.2.1 Espace de Hilbert des fonctions analytiques 139 6.2.2 Oscillateur harmonique et representation holomorphe . 140 6.3 Noyaux d'operateurs 142 6.4 Integrale de chemin : 1'oscillateur harmonique 145 6.4.1 Integrale gaussienne generale 146 6.4.2 Fonctions de correlation gaussiennes 147 6.4.3 Fonction de partition 148 6.5 Integrale de chemin : hamiltoniens generaux 149 6.5.1 Integrale de chemin 149 6.5.2 Discussion 151 6.5.3 Oscillateur harmonique : perturbation reelle 152 6.6 Systemes de bosons : seconde quantification 153 6.6.1 Etats de bosons et hamiltonien 153 6.6.2 Vecteurs d'etat : fonction generatrice et hamiltonien . . 154 6.7 Fonction de partition 156 6.8 Condensation de Bose-Einstein 157 viii Integrate de chemin en mecanique quantique 6.8.1 Potentiel harmonique 158 6.8.2 Particules libres dans une boite 159 6.9 Integrate de chemin generalisee : gaz de Bose quantique . . . . 160 6.9.1 Hamiltonien dans 1'espace de Fock 161 6.9.2 Integrate fonctionnelle 162 Exercices 163 7 Integrate de chemin : fermions 173 7.1 Algebres de Grassmann 173 7.2 Derivations dans les algebres de Grassmann 175 7.3 Integration dans les algebres de Grassmann 176 7.4 Changement de variables mixte : Berezinien et supertrace . . . 178 7.5 Integrates gaussiennes 180 7.5.1 Integrates gaussiennes 180 7.5.2 Integrates gaussiennes generates 182 7.5.3 Valeurs moyennes gaussiennes, theoreme de Wick et perturbations 183 7.6 Integrates gaussiennes reelles. Theoreme de Wick 184 7.7 Espace de Hilbert de fermions et operateurs 186 7.7.1 Fonctions grassmanniennes analytiques et produit sca- laire 187 7.7.2 Noyaux d'operateurs 188 7.8 Hamiltonien a un fermion 190 7.9 Integrates de chemin 192 7.9.1 Integrates de chemin gaussiennes 192 7.9.2 La fonction de partition 194 7.9.3 Generalisation 195 7.10 Fonction de partition de systemes de fermions 197 7.10.1 Etats de fermions. Hamiltoniens 197 7.10.2 Fonction generatrice des vecteurs d'etats 198 7.10.3 Fonction de partition : integrate de chemin 200 7.11 Gaz de Fermi quantique 201 Exercices 202 8 Effet tunnel : approximation semi-classique 209 8.1 Double puits quartique et instantons 210 8.1.1 Le double puits quartique 210 8.1.2 Instantons 212 8.2 Minima degeneres : approximation semi-classique 213 8.2.1 Instantons 214 8.2.2 Integration gaussienne et mode zero 214 8.3 Coordonnees collectives et integration gaussienne 216 8.3.1 Modes zero dans des integrates simples 216 8.3.2 Coordonnees collectives et integrate de chemin 217 8.3.3 Integration gaussienne 219 Table des matieres ix 8.3.4 Application au double puits 220 8.4 Instantons et etats metastables 222 8.4.1 Une integrate simple 223 8.4.2 Integrate de chemin et methode du col : instantons . . 225 8.5 Coordonnees collectives : autre methode 228 8.6 Lejacobien 229 8.7 Instantons : 1'oscillateur anharmonique quartique 231 8.7.1 L'integrale simple quartique 232 8.7.2 Integrate de chemin 233 8.7.3 Instantons 234 Exercices 236 9 Evolution quantique et matrice de diffusion 241 9.1 Evolution de la particule libre et matrice S 242 9.1.1 L'evolution de la particule libre 242 9.1.2 Particule dans un potentiel et matrice S 243 9.2 Developpement perturbatif de la matrice S 245 9.2.1 Developpement perturbatif 245 9.2.2 Calcul explicite 247 9.2.3 Autre methode 249 9.3 Matrice S et formalisme holomorphe 251 9.4 Matrice 5 dans la limite semi-classique 252 9.5 Approximation semi-classique : une dimension 253 9.5.1 Diffusion vers 1'avant 253 9.5.2 Diffusion vers 1'arriere 254 9.5.3 La region interdite 255 9.6 Approximation ei'konale 256 9.6.1 Approximation ei'konale 256 9.6.2 Application au potentiel de Coulomb 258 9.7 Theorie des perturbations et operateurs 259 Exercices 260 10 Integrates de chemin dans 1'espace des phases 263 10.1 Quelques rappels de mecanique analytique classique 263 10.1.1 Symetries. Lois de conservation 264 10.1.2 Invariance par translation dans le temps. Formalisme hamiltonien 265 10.1.3 Transformations canoniques 267 10.1.4 Crochets de Poisson 268 10.2 Integrate de chemin dans 1'espace de phase 268 10.2.1 Integrate de chemin 269 10.2.2 Discussion 271 10.2.3 Evolution quantique 272 10.3 Lagrangiens quadratiques dans les vitesses 273 10.3.1 Verifications uploads/Science et Technologie/ integrale-de-chemin-en-mecanique-quantique-jb-decrypted.pdf