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Chapitre 5 Echantillonnage, reconstruction et quantification 5.1. Introduction

Chapitre 5 Echantillonnage, reconstruction et quantification 5.1. Introduction 5.2. Echantillonnage idéal 5.3. Echantillonnage réel 5.4. Filtrage anti-repliement 5.5. Quantification Introduction (1/9) MI_Ch5 -1-  La numérisation d'un signal est une perte d'information...  Permet d'effectuer les traitements sur des machines informatiques, spécialisées dans le TS ou non (DSP, PC)  Codage interne des 0 et des 1 souvent en 0/5V : A priori pas d'altération du signal, robuste au bruit une fois numérisé. Exemple : un 0 codé sur 0V parasité par un bruit de 0.5V sera toujours un 0 ... Pas d'erreur lors de la transmission, la recopie, le stockage, etc. Introduction (2/9) MI_Ch5 -2- Pourquoi numériser un signal ?? Signal – fonction continue de t Traitement sur un processeur (ordinateur) Numérisation Echantillonnage + Quantification Introduction (3/9) MI_Ch5 -3- Chaine de numérisation Système continu Echantillonnage Quantification Calculateur Support continu Amplitude continue Données discrètes Codage en mot binaire Introduction (4/9) MI_Ch5 -4- Définition de l’échantillonnage o Soit x(t) un signal analogique. o Soit {tn} une suite d’instants. o La suite {x(tn)} est un signal échantillonné. Le signal {x(tn)} est à amplitude continue mais il est à temps discret. o x(tn) est la notation pour un échantillon. o L’opération permettant de passer de x(t) à {x(tn)} est l’échantillonnage. o tn+1 – tn = Te une constante, l’échantillonnage est dit régulier. Te est la période d’échantillonnage et Fe = 1/Te est la fréquence d’échantillonnage. Introduction (5/9) MI_Ch5 -5- Introduction (6/9) MI_Ch5 -6- Définition de la quantification o Soit x(t) un signal analogique. o Soit {xqk} une suite d’amplitudes. o La suite {xq(t)} avec xq(t) ∈ {xqk} est un signal quantifié. Le signal {xq(t)} est défini en certaines amplitudes seulement, il est à amplitude discrète mais il est à temps continu. o L’opération permettant de passer de x(t) à {xq(t)} est la quantification. o si xqk +1– xqk = q une constante, la quantification est dite uniforme. q est le pas de quantification. Introduction (8/9) MI_Ch5 -7- Numérisation d’un signal Introduction (9/9) MI_Ch5 -8- Comment faire ??  Modélisation mathématique  Conséquences sur le spectre : « aliasing »  Comment « bien » échantillonner? Echantillonnage idéal (1/11) MI_Ch5 -9- Echantillonneur Signal d’origine x(t) Signal échantillonné xe(t) = {x(nTe)} Te : période d’échantillonnage Echantillonnage idéal : prélèvement pendant un temps infiniment court des valeurs de x(t) à t=nTe (multiple entier de Te) MI_Ch5 -10- Echantillonnage idéal (2/11) 2.1. Modélisation mathématique L’échantillonnage correspond à la multiplication de x(t) par un peigne de Dirac. En utilisant la propriété On obtient MI_Ch5 -11- Echantillonnage idéal (3/11) MI_Ch5 -12- Echantillonnage idéal (4/11) 2.2. TF du signal échantillonné Que devient le spectre du signal x(t) après échantillonnage idéal??? D’après le théorème de Plancherel, on a : Or la TF du peigne de Dirac est : On en déduit : MI_Ch5 -13- Echantillonnage idéal (5/11) Comme le produit de convolution est distributif et que On a alors : Le spectre de Xe(f) est celui de X(f) « périodisé » avec une période fréquentielle Fe L’échantillonnage dans le domaine temporel se traduit par une « périodisation » de période Fe dans le domaine fréquentiel MI_Ch5 -14- Echantillonnage idéal (6/11) 2.3. TF du signal échantillonné On considère que x(t) est un signal réel dont le spectre est borné en fréquence, de fréquence maximale Fmax. Que devient le spectre Xe(f) en fonction de Fe ?? MI_Ch5 -15- Echantillonnage idéal (7/11) 1er cas : Fe > 2 Fmax Les motifs élémentaires de |Xe(f)| sont disjoints (pas de recouvrement des motifs) Le motif principal (n=0) est égal au spectre de x(t). Comme les motifs sont disjoints, on peut extraire X(f) grâce à un filtre passe-bas idéal et donc reconstituer intégralement le signal x(t) à partir de la connaissance de son échantillonné xe(t). MI_Ch5 -16- Echantillonnage idéal (8/11) 2ème cas : Fe < 2 Fmax Les motifs élémentaires de |Xe(f)| se recouvrent. On parle de repliement de spectres. A cause du chevauchement des motifs élémentaires constituant le spectre Xe(f) du signal échantillonné, il n’est pas possible de récupérer le spectre X(f) par un filtrage approprié. Il n’est donc pas possible de reconstruire le signal initial x(t) à partir de la connaissance de son échantillonné xe(t). MI_Ch5 -17- Echantillonnage idéal (9/11) 2.4. Théorème de Shannon Quelle est la condition sur Fe pour qu’à partir du signal échantillonné xe(t), on puisse reconstruire intégralement x(t) ??  Fe ≥ 2 Fmax : pas de recouvrement de spectre  extraction de X(f) par filtrage passe- bas idéal.  Fe < 2 Fmax : repliement de spectre  impossibilité de récupérer X(f) par filtrage Par conséquent, pour que la répétition périodique du spectre de xe(t) ne déforme pas le spectre X(f) répété, il faut et il suffit que Fe ≥ 2 Fmax MI_Ch5 -18- Echantillonnage idéal (10/11) La condition nécessaire et suffisante pour échantillonner un signal sans perte d’information est que la fréquence d’échantillonnage Fe soit supérieure ou égale au double de la fréquence maximale du signal. Plus précisément, si on note Fmax la fréquence maximale du signal, il faut et il suffit que Fe ≥ 2 Fmax Pour Fe fixée, Fe/2 est appelée fréquence de Nyquist : c’est la fréquence maximale admissible du signal pour éviter les distorsions de spectre. MI_Ch5 -19- Echantillonnage idéal (11/11) MI_Ch5 -20- Echantillonnage réel (1/4) Dans la pratique, on utilisera des impulsions de durée courte mais finie. Le signal échantillonné réel sera constitué alors d’une suite d’impulsions distantes de Te et de largeur τ. L’amplitude de ces impulsions sera fonction du procédé d’échantillonnage utilisé :  Naturel : amplitude égale à s(t) pendant la durée τ.  Régulier : amplitude constante et égale à s(nTe) pendant la durée τ.  Moyenneur : amplitude égale à la moyenne de s(t) sur l’intervalle τ MI_Ch5 -21- Echantillonnage réel (2/4)  Suite d’impulsions (fonctions porte) de largeur τ, Te_périodique MI_Ch5 -22- Echantillonnage réel (3/4) Echantillonnage naturel : Dans ce cas, l’amplitude de chaque impulsion suit la valeur de la fonction pendant l’intervalle τ. Possibilité d’obtenir S(υ) par un filtre passe-bas.  aucune déformation MI_Ch5 -23- Echantillonnage réel (4/4) Echantillonnage régulier ou bloqueur : L’amplitude de chaque impulsion est constante et égale à l’amplitude du signal initial aux temps nTe.  Outre le facteur τFe, le spectre Se0(υ) n’est pas identique au spectre initial S(υ) puisque son amplitude est modulée par la fonction sinc(τυπ).  L’échantillonnage régulier introduit donc une déformation par rapport à l’échantillonnage idéal. Cette distorsion reste petite dans le cas où la durée de la porte d’échantillonnage est faible devant Te. MI_Ch5 -24- Filtrage anti-repliement Pour éviter les répliques indésirables dues au repliement, il est indispensable que le spectre du signal ne dépasse en aucun cas la fréquence de Nyquist (Fe/2). Si le signal analogique possède des fréquences supérieures, il faut faire précéder l’échantillonnage d’un « filtre passe-bas anti-repliement » dont la fréquence de coupure est la fréquence de Nyquist. Dans la plupart des cas, ce filtrage est indispensable. En effet le signal peut soit intégrer des hautes fréquences inutiles, soit être superposé à un bruit qui augmente fortement la fréquence maximale. MI_Ch5 -25- Quantification Approximer chaque valeur du signal échantillonné xe(t) par un multiple entier d’une quantité élémentaire q appelée « pas de quantification » ou quantum. Si q est constant quelle que soit l’amplitude du signal, on parle de quantification uniforme. Dans tous les cas, la quantification est une perte d’information. uploads/Sante/ ch5-mi.pdf