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1 Cours de Traitement Analogique du Signal Licence de l’Education 2 Chapitre 1

1 Cours de Traitement Analogique du Signal Licence de l’Education 2 Chapitre 1 : Introduction au traitement du signal Et Formalisme Mathématique Le traitement du signal est une discipline qui a pour objectif d'interpréter les signaux. On entend comme signal toute représentation physique d'une information transportée d'une source vers un destinataire. 1.1 Quelques généralités 1.1.1 Modélisation des signaux Un signal est une grandeur physique qui peut être par exemple : - des ondes sismiques, - des images satellites, - des sons musicaux, - la parole, - un électrocardiogramme, - des images satellite (le traitement d'images est une extension du traitement du signal à 2 dimensions)... Un signal est émis par un système physique en évolution et obtenu à l'aide d'un capteur. Les grandeurs physiques sont représentées par des fonctions s(t) à valeurs réelles d'une variable t (figure 1.1). Dans la pratique, ces signaux ont la particularité d'être : - à énergie, à amplitude et à spectre bornés, - causal ( ( ) 0 0 s t t   ). - Par contre, sur le plan théorique, les signaux seront représentés par des fonctions parfois : - à énergie et à spectre infinis, - avec des discontinuités, - définies sur l’ensemble de réel R, - à valeurs complexes. 1.1.2 Qu'est-ce que le traitement du signal ? Le traitement du signal a pour but d'étudier l'information portée par les signaux. Il s'appuie sur une science fondamentale;: la théorie du signal. Cette science a pour objectif la description mathématique des signaux et de mettre en évidence les principales caractéristiques du signal et d'analyser les modifications subies par celui-ci lors de la transmission et le traitement. On trouve des applications du traitement du signal dans de nombreux domaines tels que : - les télécommunications, 3 - le traitement audio, - le radar, le sonar, - l'automobile... Fig. 1.1 Signal physique. Il a pour but de résoudre les problèmes suivants : - Comment extraire l'information d'un signal ? - Comment transmettre l'information d'un signal sans la dégrader ? - Comment détecter le signal utile noyé dans le bruit ? - Comment filtrer le signal pour l'extraire du bruit ? Pour cela, il utilise les outils suivants : - L'analyse spectrale (série de Fourier, Transformée de Fourier ...), - les filtres, - la modulation et la démodulation, - l'analyse statistique... Ce cours de licence d’éduction de traitement analogique du signal (signal à amplitude et temps continus) a pour objectifs : - Classer les différents types de signaux, - Présenter les bases mathématiques de la représentation fréquentielle, - Comprendre les principes du filtrage, A - Analyser des signaux aléatoires, - Comprendre les principes de la modulation. 1.2 Classification des signaux Avant d'étudier un signal, il faut s'intéresser à ses propriétés de base a n d'utiliser les outils adéquats. Pour ce faire, on classe les signaux en différentes catégories. Il existe 4 grandes classifications : - la classification temporelle, - la classification énergétique, - la classification spectrale, 4 - la classification morphologique. 1.2.1 Classification temporelle des signaux Cette classification (Figure 1.2) est basée sur l'évolution du signal en fonction du temps. On distingue 2 classes de signaux suivant leur évolution temporelle. Les signaux déterministes dont l'évolution temporelle est parfaitement décrite par un modèle mathématiques. Par opposition à ces signaux, il existe les signaux aléatoires (probabilistes, stochastiques) dont l'évolution est imprévisible. Parmi les signaux déterministes on distingue : 1. les signaux périodiques qui obéissent à la forme : ) ) / ( ( : T t s t s t T     . 2. Exemple: les signaux sinusoïdaux : ) ( ) ( s t Asin t     . 3. les signaux non périodiques : les signaux pseudopériodiques (somme de sinusoïdes de périodes différentes) . exemple 1 1 1 2 2 2) : ( ) ( ) ( s t Acos t A cos t         :. 4. les signaux transitoires dont l'existence est limitée dans le temps. 1 2 1 2 ( ) , 0 < tels q s t t s t i t t u u o t e t    Parmi les signaux aléatoires on distingue : 1. les signaux stationnaires : (les résultats de leur analyse statistiques sont indépendants du temps) : - ergodiques si il est identique de faire la moyenne statistique à un instant donné sur différents essais que de faire la moyenne temporelle sur une seule réalisation, ses statistiques, - non ergodiques. 2. les signaux non stationnaires. 1.2.2 Classification énergétique Définition 1: Soit x(t) un signal continu, on appelle énergie totale du signal la quantité :     - - 2 x dt x(t) E Remarque : Si Ex existe et est finie, on dit alors que le signal est à énergie finie. Autrement dit :       - - 2dt x(t) Définition 2 : On appelle puissance moyenne totale d’un signal x(t), la quantité : 5 Pour un signal sT0 périodique de période T0, la puissance moyenne est calculée sur une période, Fig. 1.2 Classification temporelle des signaux. Si cette intégrale satisfait : 0 < Px < +∞, on dit que le signal est à puissance moyenne finie. Classification Propriété 1 - Un signal à puissance moyenne finie non nulle a une énergie totale infinie. - Un signal à énergie finie a une puissance moyenne nulle. Ces deux grandeurs permettent donc de classer les signaux. Les signaux à énergie finie correspondent aux signaux transitoires et les signaux à puissance moyenne infinie correspondent aux signaux périodiques ou quasi-périodiques. 1.2.3 Classification spectrale Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence (spectre du signal). On appelle largeur de bande notée ∆F le domaine des fréquences occupé par le spectre (figure 1.3). 6 Fig. 1.3 Classification morphologique des signaux. ∆F = Fmax − Fmin Notons : Fmoy = (୊maxା ୊min ) ଶ . On distingue 2 types de signaux, - les signaux à bande étroite avec : ∆ி ி ೘೚೤ est très petit (ܨmax ൎܨmin), - les signaux à large bande avec ∆ி ி ೘೚೤ est très grand ( ܨmax ≫ ܨmin) Les signaux à bande étroite peuvent être classés en fonction du domaine de variation de Fmoy : Fmoy < 250kHz : basses fréquences (BF), 250kHz<Fmoy < 30MHz : hautes fréquences (HF), 30MHz<Fmoy < 300MHz : très hautes fréquences (VHF), 300MHz<Fmoy < 3GHz : ultra hautes fréquences (UHF), Fmoy > 3GHz : super hautes fréquences (SHF). 1.2.4 Classification morphologique On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont l'amplitude est discrète ou continue (fig 1.4). On obtient ainsi 4 classes de signaux : - les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus, - les signaux quanti és dont l'amplitude est discrète et le temps continu, - les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret, - les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets. 7 Fig. 1.4 Classification morphologique des signaux. 1.3. Quelques signaux élémentaires Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment rencontrés en traitement du signal disposent d'une modélisation propre. 1.3.1 Fonction signe On définit la fonction signe ( g 1.5) de la façon suivante : ݏ݅݃݊(ݐ) = ൝ −1 ݏ݅ ݐ< 0 0 ݏ݅ ݐ= 0 +1 ݏ݅ ݐ> 0 Par convention, on pose : ݏ݃݊(0) = 0. Fig. 1.5 Fonction signe 1.3.2 L'échelon unité ou fonction de Heaviside On définit l'échelon unité (fig 1.6) de la façon suivante : ݑ(ݐ) = ൞ 0 ݏ݅ ݐ< 0 1 2 ݏ݅ ݐ= 0 +1 ݏ݅ ݐ> 0 8 Fig. 1.6 Echelon unité Par convention, on prend : ݑ(0) = ଵ ଶ . Remarque : il serait préférable dans certains cas de poser : ݑ(0) = 1 L'échelon unité permet l'étude des régimes transitoires des filtres et permet de rendre causal un signal. 1.3.3 Fonction rampe On définit la fonction rampe ( fig 1.7) par : r(t) = t ∗u(t) = ׬ u(x)dx ୲ ିஶ où : u(t) est la fonction échelon Fig. 1.7 Fonction rampe 1.3.4 Le signal "porte ou fenêtre" ou rectangle Soit T un réel positif, on dé nit le signal porte (ou rectangle) comme suit : ݎ݁ܿݐ்(ݐ) = ൝1 ݏ݅− ܶ 2 < ݐ< + ܶ 2 0 ݈݈ܽ݅݁ݑݎ La fonction porte ݎ݁ܿݐ்(ݐ) est un signal transitoire de durée T. 9 Fig. 1.8 Fonction porte ou fenêtre. 1.3.5 Impulsion de Dirac L'impulsion de Dirac notée δ(t) est définie comme la limite de la fonction rectangle lorsque T tend vers 0: (ݐ) = lim ்→଴ ଵ ் ݎ݁ܿݐ்(ݐ) = lim ்→଴ቊ ଵ ் ݏ݅− ் ଶ< ݐ< + ் ଶ 0 ݈݈ܽ݅݁ݑݎ = ቄ+ ∞ ݐ= 0 0 ݈݈ܽ݅݁ݑݎ Cet être mathématique se présente comme un pic au point 0 et nul presque partout. On ne connait pas de fonction mathématique qui présente cette description. Autrement dit il n’existe pas de fonction mathématique qui est nulle presque uploads/Sante/ cours-traitement-de-signal.pdf