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". Etude d'un guide d'ondes électromagnétiques," . ~ . . "' " 1.1. Effet de pea

". Etude d'un guide d'ondes électromagnétiques," . ~ . . "' " 1.1. Effet de peau (,:t~ Application rit~ê~qte: ':\f;;~~ . io9 ~ 9 X 10-9 « 1 9, 67 X 1016 X /LOUC~ 9 X 2 X 10-7 X 5, 9 X 107 '." 1 lIaE t d ' li bl' "d" -t "cc: e terme 2" 8t es one neg gea ~"evant /La J . Co . 1.1.2. On en déduit une forme simplifiée" de l' 'equation de MAXWELL-AMPÈRE: ~M X E(M, t)= /Lo1 (M, t) .1.1.3. Le champ incident fait vibrer les électrons du conducteur à la pu~sation w. Ces mouvement de charge sont à 1'origine des champs réfléchis et transmis qui ont donc aussi la même pulsation w' = w. 13 Abualy www.ecpge.c.la = Concours National Commun - Filière MP - Session 2000 1.1.4. Le problème est invariant par tran'slation suivant Ox et Dy, donc on peut écrire: . . Et (M) = Etx (z) -:tx+ J?ty (z) ily+litz (z) ttz Puisque l'onde incidente est polarisée rectilignement suivant Dy, tout plan parallèle au plan xOz est plan d'antisymétrie, donc ïJ.t est perpendiculaire à un tel plan, soit: , ",' Et' (M) - E' ,(z) -:t "'i~!.tv ....,"'~~t:v , ,- -t y" .. , " ,'~J':,~~, ':~ 1.1.5. Et (M, t) vérifie les équations de MAXWBI,J:..i~~.t,';i' "<t";;ll' ' i , ~ , ::t V M X -:t 1:Lt (M, t) = - 8]J {M.t):;; ":}>~$t'~ -ta ~~~j-:::;,;iwJit (M, t) t ~"....:' ,~M x tdM,t) =" iwIit (M, t) 1 ~MX ]Jt (M, t) , l-to1~M:"t) = ," -",",> .,~••, J1,oO" Et (M, t) 1~M X it ('~,~) = PoO"tdM, t) 1 ===? soit donc :.,!~':è'i.t:'.,:f:"/:'~v " .',-:." .,~~l-;tb . ~M,X [~M Et (M-(t)J ';, iwpQO"Et (M, t) X { ~M x [~M X'~t,~~;))] == ~M(~M.Et(M,t)) - ~E,(M,t) Or ~.M.Et (M, t) 0 car p = 0 par l'hypothèse 3. ' " d'où: !~_. 1~1dM,t) +iW/-LoO" E.t (M,t) = ct 1 , , avec LX = ÉP /8x 2 +82/ 8y2 +82/ 8z2 opérateur laplacien. ' . .. ~ 1.1.6.,' Comme llk(M) = 1:2t(z),on ~btient: , , d? " dz2Et fz) + iWJ1,oO"Et (z) = 0 (5) soit: 'f' M. CHERKAOUI' Épreuve de Physique II --te· 1,4 Abualy www.ecpge.c.la "'+:'1~:t.:. Épreuve de Physique II 1.1.7. Expression du paramètre 6 2 " 2 (1 + i)~ (1 + i)2 = 2i kt = ~WI-LOO" = kt = WI-LoO" 2,: k2 _ (1 +"i)2 :avec 52 = 2 ~ -,'52 , W/1{)O" I~=±~I ~vec~~j6= al ...;~ '" , l,' ;~r1';:(I'liy:;;4il 1.1.8. La solution de l'équation (5) s'écrit: lb (z) = a exp (iktit+AJ.J~,;xp (-iktz) . . \- /'" -, t., \i~i~~ a et b sont de~x constantes. (~!~Jh~'L"(''W'':' . , Pour kt = Ir, on doit forcément ~y;.Qt8~î;:7 O~ sinon on aurait divergence. du champ pour z -+ +oc>. <t /11!\.\. '''.Ij;,', Donc: soit: 1.1.9. 1~(z)1 J représente l'épaisseur de peau, ,c'est l'épaisseur du conducteur au bout de laquelle l'amplitude , ". du champ est divisée par e ~ 2, 71. J est exprimée en m. z, , ~ , ... , '. ' Épreuve de Physique II M. CHERKAOUI 15 Abualy www.ecpge.c.la .< . ·, . Concoùrs National Commun - Filière MP - Session 2000 1.1.10. AppliCation numérique: , 2 , {; = 211" X 9,67 X 109 )c411" X 10-7 X 5,9 X 107 (; ~ 6, 7 X 10-7 m Pour le cuivre à la fréquence de travail, 0 est extrêmement faible: on peut considérer que l'onde ,~e pénètre pas dans le métal, elle' est absorbée q;~,tla surface. . .....i.t.:(! '1:::1> 1.1.11. Soit donc :' En fin: •• ~IT ,".:;. ~ -::t '('M) 1 + i E O (i) [. (Z )] ---4 _H, t ,t. = -6w-1: exp --g, exp 't -g - wt - cp u x !~ •• ;; ,{.:? , . .': '·C',' <'.'tl. .' 1.2. Modèle de condücteur"parfait ", '.",' :;': .. .~ ~ , 1.2.1. Pour pouvoir consIdérer le conducte.ur comme parfait, il faut pouvoir négli ger Il ~atIl dev"'ldl MocrE II· TI faut donc ~voir: .," ';" '. ,', ';':" W ,211"V 2" «J..LoO' <=> '-2 ~ J..LoO' Co Co soit: J..LoO'c5 v«· == Vmax 211" .. J..L O'c2 ' Vmax = 0 0 ~ 1,8 X 10lOa : 211" Dans le cas ducùivre, on a Vmax ~ 1018 Hz clc : On peut considérer un conducteur métallique comme parfait pour, des fré quences très· inférieures à 1018 Hz, en paiticulier c'est vrai pour les fréquences électriques"etles fréquences hertziennes. Cependant, il faut aussi être prudent pour que v ne soit pas trop grande pour que la loi d'OHM soit vérifiée. M. CHERKAOUI Épreuve de Physique II '. " , 16 Abualy www.ecpge.c.la ,<, Épreuve de Physique il : ~:' ~. '"'~ . . 1.2.2. À l'intçrieur d'un conducteur parfait, les champs électrique et magnétique \ ", . sont nuls': " /1 (M,t) = a ~t 1 (M,t) = af: En effet,'Ia puissance volumique cédée à la rmitière par l~ champ ~iectromagnétique • . . 1 . s'écrit: . ,1 , ~. :"" d: = 1 (M, t)".J1 (M,tJ..",. &1iJ;; Cette grandeur doit rester finie même si ~a,'co~9tiai~iii~ devient 'très grande, donc. :::: E = 0 pour a -} +00. ' , ~t,:".,<)i . --:± .-:+ J:L=O J' ,pour 'Iacomposante tangentielle de E pour la composante normale de E , pour la composante tangentielle de E' . pour la composante normale de E 1.2.6. Dans le conducteur parfait, on aura donc: Épreuve de Physique Il M. CHERKAOU'I '. 17 Abualy www.ecpge.c.la ~::t Concours National Commun ~. Filière MP - Session 2000 On obtient alors : . -;;:t -.t .{jj2t = ~J ,x rr12 . B 2n =O . · 1.2.7. Comme Ps et1s sont inconnues, les deux conditis aux limites exploi · tables pour les deux champs sont: 2ème pàrtie. ''''!~;;~:t;:f.1;;~/ Structure de l'onde éléc.1~~gnétique à l'intérieur d'un guide d.'-:~ndé~trectangulaire , ~:.;:::..~k~~~!:::~J.:> .' ",,;f:\ 2.1. Onde transverse électriqu~·:T~+r~~\:;:., · 2.1.1. L'onde est transverse électriqJ~;'-s(,;~'~hamp électrique associé E est per~ pendiculaire à la direction de propa'g8;:tion.;.Ôz. ;1 - ":!~'.~ rJrÊ = _ a]} (3) Equa~~:m' dÇ.~F·' .~ , " -. - 8t Équ'Jtiçn q~'MA ;.cl]} = ~ 8E (4) .: .' -'" . .... .. Co a t " ......:. ,. roi (~B)' :. r& (~8E) = _~ 82~ . '=>. . . . ëo at c5 at . "", ~(~1). graà(div1) -613 .- Equation de Mq, divB = 0 (2) , Étant donné que: B 0 (x) y) = Box (x) y) ~x +io" (x) y) Tty +110% (x) y) fiz.. , ;' .:là projection de l'équation de propagation'selon TIz donne l'équation aux dérivées f~ partielles vérifiée par Boz : ·M. CHERKAOUI Épreuve de. Physique n 18 Abualy www.ecpge.c.la d'où: 811 (M, t) Épreuve de Physique II a 2B a2B ' , 2 --Oz ~z 2B' wB a 2 + a 2 - kg==-oz + 2 ==-Oz = a .! . x y:, · Co ~--------~~--~--~----~, ,. 2.1.2. L'expression suivante: -l2.oz (x, y) = (Al cosax + A2 si~ax) (BI cq~f3y + B 2 sinf3y) ··t~ .; :.: vérifie l'équation aux dérivées partielles ci-dessus, dO'n..c :'" , ,- - - (~]} (M t) .. = iwE CM t) MF ., - , "11 - 1 ., at -, f:.J~. .~;1,t . avec g:rtflt) = Eo (x,y)expi (kgz - wt) î~"~ . , , '-(r 8/8x &x (x, y) exp i (kgz - wt) j~t~~. '1M x E (M, t) = BI8y x &y (x, y) exp i (kgz - wt) . 8/8z a -ikgJJl.oy (x, y) {(z,t) = iw&x (x, y) f (z, t) ----t-:± ( ) ikglfl.ox (x, y) f (z., t) = iWlloy (x, y) f (z, t) rot_ J!j M, t = (éJ~~X,y) -' éJ~a~X,y)) j (z, t) . iwBo% (x, y) J(/t) . en posant: f (z, t) = exp i.(kgz - wt). on trouve donc : Épreuve de Physique II M. CHERKAOUI' 19 Abualy www.ecpge.c.la Concours National Commun - Filière MP - Session 2000 ' , D'autre part: . soit; =- ;:&Ê (M,~) •.•...... 6,k~BO% - Ô::%) f (z, t) - -i~~f(z,t) BJky '811011;)' ( ) _.w ( , ) ( a;- - a,Y. f z, t - -'t c5liozf Zl t En remplaçmt "lè.s,:'exIJfessions de Box et 'BOy trouvées dans le système (81), on obtient le système (82): ' , , 2 'W aBot:, .kgE -'t-E 0 = -- ..!- "l-b!()' C6- x ay ... w x , W k2 'j: 'aB (82) . E " DE ' H.(}z -'-'/,-.L:J n.. = -''t-- .LJ 1'1.. - ----- c5-vu ," ax w ~II, . ,Finalement, on â, à partir de la pre~ère,~quation du système (82) : . i ,. .-. M. ' CHERKAOUI Épreuve de Physique n "J!" 20 Abualy www.ecpge.c.la Épreuve de Physique II 2.1.4. Àpaitirde la deuxième équation du système (82), on a de même: 1 . . , 2.1.5. Tenant compte de l'expression d6 Boz donnée dans la question 2.1.2. : "." Iloz (x, y) = (Al cos a:x + A2 uploads/Sante/ cnc-2000-mp-physique-2-corrige.pdf