Universit´ e Mohammed V Ann´ ee Universitaire: 2017-2018 Facult´ e des Sciences
Universit´ e Mohammed V Ann´ ee Universitaire: 2017-2018 Facult´ e des Sciences D´ epartement de Physique Master Physique Informatique Syst` emes dynamiques syst` emes complexes Devoir Exercice 1 On consid´ ere l’´ equation diff´ erentielle dx dt = f(x) qui d´ ecrit l’´ evolution d’un syst` eme dynamique. 1- Exprimez l’´ el´ ement de volume δV en fonction des variations ∆i = dxi. 2- En faisant un d´ eveloppement de f(x) au premier ordre, montrer que la variation de l’´ el´ ement de volume δV en fonction du temps est donn´ ee par d(δV ) dt = δV divf(x) 3- On note par {λi} l’ensemble des valeurs propres de la matrice jacobi´ ene J = ∂(f1,f2,...fn) ∂(x1,x2,...,xn). Montrer que si TrJ < 0, le syst` eme est dissipatif. 4- Etablir la condition pour avoir: - Un point fixe stable. - Un cycle limite. - un attracteur chaotique. 5- Retrouver le th´ ehor` eme de Liouville, qui exrprime la conservation du volume de l’espace des phases dans un syst` eme hamiltonien. Exercice 2: Calcul de p´ eriode dans les syst` emes oscillatoires On consid` ere un syst` eme conservatif ` a une dimension gouvern´ e par l’´ equation: d2x dt2 = −∂V ∂x o` u V (x) est l’´ energie potentielle du syst` eme. 1- Montrer que l’´ energie totale E du syst` eme est conserv´ ee. 2- Montrer que la periode est donn´ ee par: T = 2 Z +xt −xt dx p 2(E −V (x)) o` u ±xt sont les points dits tournants qui sont solutions de l’´ equation V (xt) = E. 3- On consid` ere le cas o` u V (x) = V0 + x4 4 . En utilisant le changement de variable U = x (4E)1/4 , 1 montrer que T ∼E−1/4. Que peut-on conclure? 4- On consid` ere l’oscillateur de Duffing dont le potentiel est donn´ e par: V (x) = 1 2x2 + 1 4ǫx4 o` u ǫ << 1. i- D´ eterminer les points tournants solutions de l’´ equation V (xt) = E. ii- Montrer que la p´ eriode du syst` eme est donn´ ee par T = 2 Z +xt −xt dθ q 1 + x2 t ǫ 2 (1 + sin2 θ) En faisant un d´ eveloppement au premier ordre, d´ eduire que: T = 2π(1 −3 4ǫE) 5- On souhaite d´ eterminer la p´ eriode de l’oscillateur de Duffing par la m´ ethode de Poincar´ e- Lindstedt. i- Montrer que l’´ equation de l’oscillateur est ( d2 dt2 + 1)x = −ǫx3 ii- Vue que ǫ << 1, on cherchera des solutions de la forme x = x0 + ǫx1 + ǫ2x2 + ... Montrer que la solution du probl` eme se r´ eduit au premier ordre ` a r´ esoudre le syst` eme d’´ equation ( ( d2 dt2 + 1)x0 = 0 ( d2 dt2 + 1)x1 = −x3 0 iii- En posant ω = 1 + ǫω1, montrer que le probl` eme se r´ eduit ` a: ( ( d2 dτ 2 + 1)x0 = 0 ( d2 dτ 2 + 1)x1 = −x3 0 + 2ω1x0 o` u τ = ωt. iv- On prend comme conditions initiales (x(t = 0) = A) et dx dt |t=0 = 0. Montrer que l’´ equation du syst‘eme devient ( d2 dτ 2 + 1)x1 = (2ω1 −3 4A2)Acosτ −A3 4 cos3τ D´ eduire, par ´ elimination du terme r´ esonant, la fr´ quence du syst` eme ω. V- Montrer que la solution x(t) de l’oscillateur est x(t) = Acosωt + ǫ 32A3(cos 3ωt −cos ωt) avec ω = 1 + 3 8ǫA2 qu’on compare avec le r´ esultat obtenu dans la question 4-ii. 2 uploads/Sante/ devoir 76 .pdf
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- Publié le Jan 03, 2023
- Catégorie Health / Santé
- Langue French
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