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Licence 3 IST Traitement du signal DEVOIR DE TRAITEMENT DU SIGNAL Table des mat

Licence 3 IST Traitement du signal DEVOIR DE TRAITEMENT DU SIGNAL Table des mati` eres Eﬀet d’´ echo par ﬁltrage FIR 1 Eﬀet d’´ echo par ﬁltrage IIR 2 Ce devoir propose d’impl´ ementer l’eﬀet d’´ echo par une approche FIR et une approche IIR. Les deux exercices demandent une ´ etude th´ eorique du ﬁltre suivie d’une impl´ ementation pratique sous MatLab, Octave, Scilab ou Python 3 (avec numpy et scipy). Vous pouvez utiliser toutes les fonctions que vous souhaitez pour la partie pratique. La notation prendre en compte la qualit´ e du code, et en particulier votre capacit´ e ` a ´ ecrire un code propre, eﬃcace, prenant en compte les capacit´ es de calculs matriciels (c’est-` a-dire, de limiter l’utlisation de boucle for). En particulier, on pourra utiliser les fonctions filter et freqz (resp. freq) pour MatLab, Octave et Python (resp. scilab). Exercice 1. — Eﬀet d’´ echo par ﬁltrage FIR. Soit le syst` eme donn´ e par l’´ equation suivante : s[n] = e[n] + αe[n −D] o` u e[n] est l’entr´ ee et s[n] la sortie. α ≥0 est appel´ e le facteur d’att´ enuation et D ∈Z le delay. Ce syst` eme permet d’impl´ ementer un simple ´ echo. (1) Partie Th´ eorique (a) Le syst` eme est-il lin´ eaire ? Invariant ? (b) ` A quelle condition sur D le syst` eme est-il causal ? (c) D´ eterminer la r´ eponse impulstionnelle h du syst` eme et la repr´ esenter graphiquement pour α = 1 2 et D = 2. Le syst` eme est-il toujours stable ? (d) Donner la fonction de transfert H(z) de h avec sa r´ egion de convergence. (e) Donner la transform´ ee de Fourier ˆ h(ν) du syst` eme et son module au carr´ e. M. Kowalski 1 Traitement du signal Devoir de Traitement du signal (f) ´ Etudier |ˆ h(ν)|2, en donner une repr´ esentation graphique sommaire pour deux valeurs de D. Quelle est l’eﬀet de D ? (2) Partie Pratique. — ´ Ecrire un script qui permet d’impl´ ementer l’´ echo pr´ ec´ edent. On choisira une fr´ equence d’´ echantillonnage de 10 kHz. On doit pouvoir choisir α et donner un d´ elai d en seconde (ne pas confondre d qui en seconde et D qui est un nombre entier d’´ echantillons). Vous exp´ erimenterez votre ﬁltre en mettant en entr´ ee : — L’impulsion de Dirac — Une sinuso¨ ıde d’une dur´ ee de 0.5 s, ` a une fr´ equence ν = 200 Hz, modul´ ee par une exponentielle d´ ecroissante de type t 7→e−γt. On choisira γ = 10. Par d´ efaut, on choisira α = 0.5 et d = 1 s. Vous repr´ esenterez graphiquement les entr´ ees et les sorties correspondantes. Vous pouvez aussi ´ ecouter le r´ esultat. — Quelle-est l’inﬂuence du param` etre α ? — Repr´ esenter graphiquement la r´ eponse impulsionnelle du syst` eme. — Calculer num´ eriquement et repr´ esenter la r´ eponse en fr´ equence (i.e. le module de la transform´ ee de Fourier de la r´ eponse impulsionnelle) du ﬁltre. Comment ´ evolue cette r´ eponse en fr´ equence en fonction de d ? Exercice 2. — Eﬀet d’´ echo par ﬁltrage IIR. Soit le syst` eme donn´ e par l’´ equation suivante : s[n] = αe[n] + βs[n −D] o` u e[n] est l’entr´ ee et s[n] la sortie. α ≥0 est appel´ e le facteur d’´ echelle, β ≥0 le facteur d’att´ enua- tion et D ∈Z le delay. (1) Partie Th´ eorique. (a) Le syst` eme est-il lin´ eaire ? Invariant ? (b) ` A quelle condition sur D le syst` eme est-il causal ? (c) Donner la fonction de transfert H(z) de h avec sa r´ egion de convergence. (d) Donner la (les) condition(s) de stabilit´ e du syst` eme. (e) Donner la transform´ ee de Fourier ˆ h(ν) du syst` eme et son module au carr´ e, lorsqu’elle existe. (f) D´ eterminer la r´ eponse impulstionnelle h du syst` eme pour D = 1 (2) Partie Pratique. (a) ´ Ecrire un script qui permet d’impl´ ementer l’´ echo avec le ﬁltre IIR pr´ ec´ edent. On choi- sira une fr´ equence d’´ echantillonnage de 10 kHz. On doit pouvoir choisir α, β et donner un d´ elai d en seconde (ne pas confondre d qui en seconde et D qui est un nombre entier d’´ echantillons). Vous exp´ erimenterez votre ﬁltre en mettant en entr´ ee : 2 Traitement du signal Devoir de Traitement du signal — L’impulsion de Dirac — Une sinuso¨ ıde d’une dur´ ee de 0.5 s, ` a une fr´ equence ν = 200 Hz, modul´ ee par une exponentielle d´ ecroissante de type t 7→e−γt. On choisira γ = 10. Par d´ efaut, on choisira α = 1, β = 1 2 et d = 1 s. Vous repr´ esenterez graphiquement les entr´ ees et les sorties correspondantes. Vous pouvez aussi ´ ecouter le r´ esultat. (b) Quelles sont les inﬂuences des param` etres α et β ? Que se passe-t-il lorsque β > 1 (c) Repr´ esenter graphiquement la r´ eponse impulsionnelle du syst` eme. (d) Calculer num´ eriquement et repr´ esenter la r´ eponse en fr´ equence (i.e. le module de la transform´ ee de Fourier de la r´ eponse impulsionnelle) du ﬁltre. Comment ´ evolue cette r´ eponse en fr´ equence en fonction de d ? (e) Quelle impl´ ementation vous semble la plus r´ ealiste : l’approche FIR ou l’approche IIR ? 3 uploads/Sante/ l3-devoir-de-traitement-du-signal-2019-2020-pdf.pdf