M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction ` a la M´ ecanique des Fluides Num´ eriq
M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction ` a la M´ ecanique des Fluides Num´ erique: M´ ethode ”Volumes Finis” Alexei Stoukov ENSEEIHT D´ epartement Hydraulique / M´ ecanique des Fluides Version initiale: Octobre 2006 Revision: F´ evrier 2012 1 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction M´ ecanique des Fluides Num´ erique Computational Fluid Dynamics - m´ ethodologie R´ esolution num´ erique des probl` emes de la M´ ecanique des Fluides Grandes ´ etapes : 2 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction M´ ecanique des Fluides Num´ erique Computational Fluid Dynamics - m´ ethodologie R´ esolution num´ erique des probl` emes de la M´ ecanique des Fluides Grandes ´ etapes : Probl` eme physique continu est d´ ecrit par un mod` ele math´ ematique continue (mis en ´ equations) 2 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction M´ ecanique des Fluides Num´ erique Computational Fluid Dynamics - m´ ethodologie R´ esolution num´ erique des probl` emes de la M´ ecanique des Fluides Grandes ´ etapes : Probl` eme physique continu est d´ ecrit par un mod` ele math´ ematique continue (mis en ´ equations) Mod` ele math´ ematique continu est discr´ etis´ e en s’appuyant sur une(des) m´ ethode(s) num´ erique(s) 2 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction M´ ecanique des Fluides Num´ erique Computational Fluid Dynamics - m´ ethodologie R´ esolution num´ erique des probl` emes de la M´ ecanique des Fluides Grandes ´ etapes : Probl` eme physique continu est d´ ecrit par un mod` ele math´ ematique continue (mis en ´ equations) Mod` ele math´ ematique continu est discr´ etis´ e en s’appuyant sur une(des) m´ ethode(s) num´ erique(s) Equations discr´ etis´ ees sont approxim´ ees ` a l’aide des sch´ emas num´ eriques appropri´ es, l’algorithme de r´ esolution est ´ etablie 2 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction M´ ecanique des Fluides Num´ erique Computational Fluid Dynamics - m´ ethodologie R´ esolution num´ erique des probl` emes de la M´ ecanique des Fluides Grandes ´ etapes : Probl` eme physique continu est d´ ecrit par un mod` ele math´ ematique continue (mis en ´ equations) Mod` ele math´ ematique continu est discr´ etis´ e en s’appuyant sur une(des) m´ ethode(s) num´ erique(s) Equations discr´ etis´ ees sont approxim´ ees ` a l’aide des sch´ emas num´ eriques appropri´ es, l’algorithme de r´ esolution est ´ etablie Algorithme est cod´ e (C, Fortan, Matlab, Java,...) 2 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction M´ ecanique des Fluides Num´ erique Computational Fluid Dynamics - m´ ethodologie R´ esolution num´ erique des probl` emes de la M´ ecanique des Fluides Grandes ´ etapes : Probl` eme physique continu est d´ ecrit par un mod` ele math´ ematique continue (mis en ´ equations) Mod` ele math´ ematique continu est discr´ etis´ e en s’appuyant sur une(des) m´ ethode(s) num´ erique(s) Equations discr´ etis´ ees sont approxim´ ees ` a l’aide des sch´ emas num´ eriques appropri´ es, l’algorithme de r´ esolution est ´ etablie Algorithme est cod´ e (C, Fortan, Matlab, Java,...) Code est execut´ e sur un ordinateur 2 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” Introduction M´ ecanique des Fluides Num´ erique Computational Fluid Dynamics - m´ ethodologie R´ esolution num´ erique des probl` emes de la M´ ecanique des Fluides Grandes ´ etapes : Probl` eme physique continu est d´ ecrit par un mod` ele math´ ematique continue (mis en ´ equations) Mod` ele math´ ematique continu est discr´ etis´ e en s’appuyant sur une(des) m´ ethode(s) num´ erique(s) Equations discr´ etis´ ees sont approxim´ ees ` a l’aide des sch´ emas num´ eriques appropri´ es, l’algorithme de r´ esolution est ´ etablie Algorithme est cod´ e (C, Fortan, Matlab, Java,...) Code est execut´ e sur un ordinateur Si tout va bien, la solution approch´ ee du probl` eme initial est obtenue 2 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes CFD : Principales m´ ethodes Diff´ erences finies Appoximation des d´ eriv´ ees intervenantes dans les ´ equations ` a l’aide de dev´ eloppement en s´ erie de Taylor 3 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes CFD : Principales m´ ethodes Diff´ erences finies Appoximation des d´ eriv´ ees intervenantes dans les ´ equations ` a l’aide de dev´ eloppement en s´ erie de Taylor Elements finis D´ etermination d’un champ local ` a attribue ` a chaque sous domaine (´ el´ ement) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du probl` eme (bilan global). 3 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes CFD : Principales m´ ethodes Diff´ erences finies Appoximation des d´ eriv´ ees intervenantes dans les ´ equations ` a l’aide de dev´ eloppement en s´ erie de Taylor Elements finis D´ etermination d’un champ local ` a attribue ` a chaque sous domaine (´ el´ ement) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du probl` eme (bilan global). Volumes finis Bilan local des flux dans un petit volume de contrˆ ole 3 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes Diff´ erences finies Diff´ erences finies Le principe de la m´ ethode se d´ ecoule directement de la d´ efinition de d´ eriv´ ee : ∂φ ∂x xi = lim ∆x→0 φ(xi + ∆x) −φ(xi) ∆x (1) S´ erie de Taylor pour une fonction continue φ(x) aux alentours de xi : φ(x) = φ(xi) + (x −xi) ∂φ ∂x i + (x −xi)2 2! ∂φ2 ∂x2 i + (x −xi)3 3! ∂φ3 ∂x3 i + ... + (x −xi)n n! ∂φn ∂xn i + H (2) o` u H repr´ esente les termes d’ordre superieurs Higher order terms 4 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes Diff´ erences finies Diff´ erences finies En remplacant x par xi+1 ou xi−1 dans (2) on obtient : ∂φ ∂x i =φi+1 −φi xi+1 −xi −xi+1 −xi 2 ∂φ2 ∂x2 i −(xi+1 −xi)2 6 ∂φ3 ∂x3 i + H (3) ∂φ ∂x i =φi −φi−1 xi −xi−1 + xi −xi−1 2 ∂φ2 ∂x2 i −(xi −xi−1)2 6 ∂φ3 ∂x3 i + H (4) ∂φ ∂x i =φi+1 −φi−1 xi+1 −xi−1 −(xi+1 −xi)2 −(xi −xi−1)2 2(xi+1 −xi−1) ∂φ2 ∂x2 i − (xi+1 −xi)3 + (xi −xi−1)3 6(xi+1 −xi−1) ∂φ3 ∂x3 i + H (5) 5 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes Diff´ erences finies Diff´ erences finies Exemple d’approximation Forward Difference (FD) ∂φ ∂x i ≈φi+1 −φi xi+1 −xi (6) Backward Difference (BD) ∂φ ∂x i ≈φi −φi−1 xi −xi−1 (7) Central Difference (CD) ∂φ ∂x i ≈φi+1 −φi−1 xi+1 −xi−1 (8) 6 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes Diff´ erences finies Diff´ erences finies Exemple d’approximation Forward Difference (FD) ∂φ ∂x i ≈φi+1 −φi xi+1 −xi (6) Backward Difference (BD) ∂φ ∂x i ≈φi −φi−1 xi −xi−1 (7) Central Difference (CD) ∂φ ∂x i ≈φi+1 −φi−1 xi+1 −xi−1 (8) L’erreur de troncature ϑ(∆x) pour FD et BD ϑ(∆x2) pour CD 6 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes El´ em´ ents finis M´ ethode El´ em´ ents finis Consiste ` a rechercher une solution approch´ ee sous la forme d’un champ e F (M, t) d´ efini par morceaux sur des sous domaines de Ω. Les n sous-domaines Ωi doivent ˆ etre tels que n [ i=1 Ωi = Ωet f Ωi ∩e Ωj = ∅∀i ̸= j o` u e Ωi d´ esigne l’int´ erieur de Ωi. Les champs e fi (M, t), d´ efinis sur chaque sous domaines sont des champs choisis parmi une famille arbitraire de champs (g´ en´ eralement polynˆ omiaux). Le champ dans chaque sous domaine Ωi est d´ etermin´ e par un nombre fini de valeurs du champ (ou de valeurs de ses d´ eriv´ ees) en des points choisis arbitrairement dans le sous domaine, et appel´ es nœuds. Le champ local est une interpolation entre les valeurs aux nœuds. Le sous-domaine muni de son interpolation est appel´ e ´ el´ ement. Chercher une solution par ´ el´ ements finis consiste ` a d´ eterminer quel champ local on attribue ` a chaque sous domaine pour que le champ global e F (M, t) obtenu par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du probl` eme. 7 / 75 M´ ethode ”Volumes Finis” CFD : Principales m´ ethodes Volumes finis - pourquoi l’utiliser Pourquoi utiliser l’approche ”Volumes Finis” ? Diff´ erences finies Bien connue Mise en œvre simple pour une g´ eometrie simple Mise en œvre difficile pour une g´ eometrie complexe Pas toujours conservative Utilisation dans des codes de ”recherche” El´ em´ ents finis Approche tr` es ”math´ ematique” S’adapte ` a une g´ eometrie quelconque Difficult´ ees pour resoudre les uploads/Sante/ enseheiit-vf-pdf.pdf
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- Publié le Jul 30, 2021
- Catégorie Health / Santé
- Langue French
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