Physique avancée I 2 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet Corrig´ e S´ erie 20 -
Physique avancée I 2 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet Corrig´ e S´ erie 20 - Dynamique du solide 1. Centre de masse et moment d’inertie d’une portion de sph` ere pleine a) En pla¸ cant l’origine d’un rep` ere cart´ esien au centre de la sph` ere, l’axe z confondu avec l’axe de r´ evolution de l’objet, il vient par sym´ etrie : xcm = ycm = 0 La coordonn´ ee zcm du centre de masse se calcule comme suit, en effectuant l’int´ egrale en coordonn´ ees sph´ eriques (ρ = cste) : zcm = 1 M Z M zdm = 1 M Z V zρdV = 1 V Z V zdV = 1 V Z π/3 0 Z 2π 0 Z R 0 z r2 sin θdrdφdθ (1) Nous avons que z = r cos θ. Donc : zcm = 1 V Z π/3 0 Z 2π 0 Z R 0 r cos θ r2 sin θdrdφdθ = 1 V R4 4 2π1 2 sin2 θ π/3 0 = 1 V 3πR4 16 (2) Reste ` a calculer le volume : V = Z V dV = Z π/3 0 Z 2π 0 Z R 0 r2 sin θdrdφdθ = R3 3 2π [−cos θ]π/3 0 = 2πR3 6 (3) Et donc : zcm = 1 V 3πR4 16 = 9R 16 . b) Calcul du moment d’inertie autour de l’axe ∆: I∆= Z M r2 ⊥dm = Z V r2 ⊥ρdV = ρ Z V r2 ⊥dV = ρ Z π/3 0 Z 2π 0 Z R 0 r2 ⊥r2 sin θdrdφdθ (4) Nous avons que r⊥= r sin θ. Donc : I∆= ρ Z π/3 0 Z 2π 0 Z R 0 r2 sin2 θr2 sin θdrdφdθ = ρR5 5 2π Z π/3 0 sin3 θdθ (5) Calculons cette derni` ere int´ egrale : Z π/3 0 sin3 θdθ = Z π/3 0 sin θ(1 −cos2 θ)dθ = Z π/3 0 sin θ −sin θ cos2 θ dθ = −cos θ + 1 3 cos3 θ π/3 0 = 5 24 (6) Et ainsi on obtient : I∆= ρR5 5 2π 5 24 = ρR5π 12 (7) Corrig´ e S´ erie 20 - Dynamique du solide 1/4 Physique avancée I 2 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet 2. Chute d’une barre en milieu visqueux a) La vitesse du centre de masse s’´ ecrit : vG = ˙ θL 2 En appliquant la conservation de l’´ energie, on a : Einitiale = Efinale ⇒mgL 2 = 1 2mv2 G + 1 2IG ˙ θ2 (8) mgL = ˙ θ2 " m L 2 2 + IG # (9) Rappel : pour une barre, IG = m L2 12 , on obtient : ˙ θ2 = mgL mL2 4 + IG ⇒vG = L 2 v u u t mgL mL2 4 + IG (10) b) On a : vi = vG + ˙ θ ∧GPi (11) avec i = 1, 2 indice des extrˆ emit´ es respectives de la barre. La somme des forces ΣF ext s’´ ecrit donc : mg −η h vG + ˙ θ ∧GP1 i −η h vG + ˙ θ ∧GP2 i (12) Ce qui donne ΣF ext = mg −2ηvG car GP1 = −GP2. Remarque : vG et ˙ θ varient avec le temps et sont d´ etermin´ es par les ´ equations du mouvement donn´ ees en c) et d). c) Par le point pr´ ec´ edent, m˙ vG = mg −2ηvG. Si la vitesse d’arriv´ ee, initiale, de la barre dans le liquide n’a pas de composante sur z, alors on a : Sur x : ˙ vGx = −2 η mvGx Sur y : ˙ vGy = −g −2 η mvGy (13) On pourrait ´ egalement ´ ecrire ces r´ esultats avec xG et yG. d) On applique le th´ eor` eme du moment cin´ etique appliqu´ e en G : IG ¨ θ ˆ z = GP1 ∧ n −η h vG + ˙ θ ∧GP1 io + GP2 ∧ n −η h vG + ˙ θ ∧GP2 io = −2η GP1 ∧ ˙ θ ∧GP1 (14) La projection sur z donne l’´ equation du mouvement pour la vitesse de rotation instantan´ ee : IG ¨ θ = −2η L 2 2 ˙ θ (15) Corrig´ e S´ erie 20 - Dynamique du solide 2/4 Physique avancée I 2 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet 3. Projectile contre solide a) La somme des forces ext´ erieures est nulle. La quantit´ e de mouvement totale P est donc conserv´ ee, ce qui d´ etermine la vitesse du centre de masse VG du cube juste apr` es le choc, P = mvi = MVG ⇒ VG = m M vi (16) o` u on a n´ eglig´ e la masse m du projectile par rapport ` a la masse M du cube apr` es la collision, i.e. m ≪M. Juste apr` es l’impact, le centre de masse G suit ainsi une trajectoire rectiligne dans la mˆ eme direction que le projectile juste avant l’impact. b) La somme des moments de forces ext´ erieures est nulle. Le moment cin´ etique est donc conserv´ e. c) Par conservation du moment cin´ etique, le moment cin´ etique total ´ evalu´ e en un point O du plan de la table ` a air juste avant et juste apr` es le choc s’´ ecrit LO = OA ∧m vi = OG ∧M VG + IG ω , (17) o` u l’on a exprim´ e le moment cin´ etique apr` es le choc comme la somme du moment cin´ etique OG ∧M VG associ´ e ` a la rotation du centre de masse G autour de l’axe vertical passant par O et du moment cin´ etique LG = IG ω associ´ e ` a la rotation propre du cube autour de l’axe vertical passant par son centre de masse G. On a aussi n´ eglig´ e la masse m du projectile par rapport ` a la masse M du cube apr` es la collision, i.e. m ≪M. A pr´ esent, on choisit un point O particulier qui se trouve sur la droite horizontale qui passe par le centre de masse G du cube. Ainsi, OG ∧VG = 0 (18) Par cons´ equent, dans ce cas, l’´ equation (17) se r´ eduit ` a, LO = OA ∧mvi = IG ω , (19) L’´ equation vectorielle (19) est d´ ecrite enti` erement selon l’axe vertical normal au plan de la table ` a air. La projection de cette ´ equation selon l’axe vertical z s’´ ecrit L 2 m vi = IG ω (20) ce qui implique que la vitesse angulaire de rotation propre du cube autour de son centre de masse G juste apr` es le choc est donn´ ee par ω = L m vi 2 IG (21) d) La vitesse du sommet A du cube est donn´ ee par VA = VG + ω ∧GA (22) La vitesse du centre de masse VG apr` es le choc, la vitesse angulaire ω et le vecteur GA s’´ ecrivent respectivement en composantes comme VG = ˙ x ˙ y 0 ω = 0 0 ˙ θ GA = L √ 2 cos θ sin θ 0 (23) Corrig´ e S´ erie 20 - Dynamique du solide 3/4 Physique avancée I 2 décembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet avec θ l’angle entre l’axe x et le vecteur GA. Ainsi, VA = ˙ x ˙ y 0 + 0 0 ˙ θ ∧L √ 2 cos θ sin θ 0 = ˙ x − L √ 2 ˙ θ sin θ ˙ y + L √ 2 ˙ θ cos θ 0 (24) Le th´ eor` eme du centre de masse s’´ ecrit M ˙ VG = −b VA (25) Les projections de ce th´ eor` eme selon les axes x et y s’´ ecrivent M ¨ x = −b ˙ x − L √ 2 ˙ θ sin θ (26) M ¨ y = −b ˙ y + L √ 2 ˙ θ cos θ (27) e) Le th´ eor` eme du moment cin´ etique appliqu´ e au centre de masse G s’´ ecrit IG ˙ ω = GA ∧(−b VA) (28) o` u GA ∧(−b VA) = −bL √ 2 cos θ sin θ 0 ∧ ˙ x − L √ 2 ˙ θ sin θ ˙ y + L √ 2 ˙ θ cos θ 0 = −bL √ 2 0 0 ˙ y cos θ −˙ x sin θ + L √ 2 ˙ θ (29) La projection de ce th´ eor` eme selon l’axe z s’´ ecrit IG ¨ θ = uploads/Sante/ exercice 8 .pdf
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- Publié le Jan 15, 2021
- Catégorie Health / Santé
- Langue French
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