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Pc4 corrige 1 MS ?? ONDES ET VIBRATIONS PC Systèmes discrets - Exercice Tour de Taipeh Les points M et m sont repérés respectivement par OM qg t q t L et Om qg t q t l sin L ?? l cos L ? énergie cinétique vaut donc Ec M q g q m q g q l cos l sin L

MS ?? ONDES ET VIBRATIONS PC Systèmes discrets - Exercice Tour de Taipeh Les points M et m sont repérés respectivement par OM qg t q t L et Om qg t q t l sin L ?? l cos L ? énergie cinétique vaut donc Ec M q g q m q g q l cos l sin L ? énergie potentielle est la somme de celle due à la raideur du premier mode de exion et celle due aux variations de hauteur de la sphère soit Ep K q mg L ?? l cos Le Lagrangien s ? écrit L Ec ?? Ep et les équations de Lagrange ? L ? q ?? d ? L dt ? q ? L ? ?? d ? L dt ? Soit M m q ? ml ?cos ?? ml sin Kq ?? M m q ?g ml cos q ? ml ? mgl sin ??ml cos q ?g En linéarisant il vient sous forme matricielle M m ml ml ml q ? ? K mgl q ?? M m ml q ?g Les deux équations sont couplées par inertie En remplaçant dans la dynamique linéarisée il vient K ?? M m ??ml ??ml mgl ?? ml Q M m a mla En notant A la matrice la solution s ? écrit Q detA mgl ?? ml ml ml K ?? M m M m a mla On pose Q il vient m M l ?? g Les pulsations propres du système modi ?é sont les solutions de l ? équation suivante det K ?? ? M m ??ml ? ??ml ? mgl ?? ml ? qui peut se réécrire ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? avec ? K ?? M m K M ? g l et ? m M m En étudiant graphiquement la fonction f x x ?? x x ?? x ?? ? x on voit que les fréquences propres s ? écartent des bornes de l ? intervalle x x ? ? ? ?? ?? x ? Exercice couplage gyroscopique Vitesse du point M v vr ?? OM d ? o? Ec M X ?? Y Y X Pour l ? énergie potentielle Ep K X Y En appliquant les équations de Lagrange poly p il vient MX ? ?? M Y K ?? M X MY ? M X K ?? M Y Les termes M Y et M X sont les forces gyroscopiques Elles couplent les degrés de liberté via un terme proportionnel à la vitesse Les termes en ??M X et ??M Y sont dues aux forces centrifuges C Supposer ?? ? revient à négliger les forces centrifuges par rapport au couplage gyroscopique Le problème aux valeurs propres s ? écrit en cherchant une solution de la forme X Y X ? Y ? ei ?t soit ? ?? ? ?? i ? i ? ? ?? ? X ? Y ? Les pulsations propres sont les racines du déterminant