LU3PY101 Physique Quantique 1 2022-2023 TD 3 - Paquet d’ondes gaussien : struct
LU3PY101 Physique Quantique 1 2022-2023 TD 3 - Paquet d’ondes gaussien : structure et évolution – Corrigé – Cet exercice s’attache à comprendre comment se propage un paquet d’ondes en physique quan- tique. Plusieurs notions fondamentales y sont abordées : les vitesses de phase et de groupe, l’étale- ment, la position moyenne, l’écart quadratique moyen, l’indétermination de Heisenberg... lusieurs outils mathématiques importants sont également détaillés : transformation de Fourier, distribution δ de Dirac, intégrales gaussiennes. La maîtrise de cet exercice est indispensable pour tous ceux qui désirent poursuivre des études de physique quantique en Master. On peut parfois lire qu’une particule de matière de masse m et de vitesse v peut être décrite en physique quantique par une onde de de Broglie, c’est-à-dire par l’onde plane suivante ψk (x, t) = 1 √ 2πei(kx−ωt) (1) où les propriétés ondulatoires k et ω sont reliées aux propriétés corpusculaires mv et E par k = mv ¯ h et ω = E/¯ h. Bien sûr, une telle onde plane n’est pas physique puisqu’elle est "délocalisée" dans tout l’espace... Ce qui est en fait sous-entendu, c’est que cette onde plane est l’onde principale (ou l’onde moyenne) du paquet d’ondes associé au mouvement de la particule. Comment créer un tel paquet d’ondes bien localisé dans l’espace ? C’est très simple : l’équation d’évolution de la mécanique quantique, la fameuse “équation de Schrödinger”, étant linéaire, il suffit juste de prendre une somme continue d’ondes planes ayant des k différents : Ψ (x, t) = Z +∞ −∞ φ (k) ei(kx−ωt) √ 2π dk (2) avec φ (k) une fonction de k judicieusement choisie pour faire interférer constructivement les ondes planes uniquement dans une zone bien définie de l’espace. Dans cet exercice, on va s’intéresser à un paquet d’ondes particulier dont l’intérêt pratique est considérable : le paquet d’ondes gaussien. 1. En vous aidant des identités mathématiques suivantes Z +∞ −∞ ei(k−k′)xdx = 2π δ k −k′ et Z +∞ −∞ δ k −k′ f k′ dk′ = f (k) (3) TD 3 – Paquet d’ondes gaussien : structure et évolution – Corrigé – LU3PY101 - Physique Quantique 1 montrer que φ (k) est la transformée de Fourier de Ψ (x, 0) : φ (k) = Z +∞ −∞ e−ikx √ 2π Ψ (x, 0) dx (4) Solution: Remarquons tout d’abord que la relation R +∞ −∞ei(k−k′)xdx = 2π δ (k −k′) traduit le fait que les ondes planes forment une famille orthonormée au sens de Dirac : Z +∞ −∞ eik′x √ 2π !∗ eikx √ 2π dx = δ k −k′ = δ k′ −k La transformée de Fourier de Ψ (x, 0) s’écrit ensuite Z +∞ −∞ e−ikx √ 2π Ψ (x, 0) dx = Z +∞ −∞ e−ikx √ 2π Z +∞ −∞ φ k′ eik′x √ 2πdk′ ! dx où l’on a changé le nom de la variable d’intégration k en k′ dans l’expression de Ψ (x, 0) pour ne pas confondre avec le k de e−ikx √ 2π . Les intégrales peuvent être interverties et l’on obtient alors : Z +∞ −∞ e−ikx √ 2π Ψ (x, 0) dx = Z +∞ −∞ φ k′ Z +∞ −∞ e−ikx √ 2π eik′x √ 2πdx ! dk′ = Z +∞ −∞ φ k′ δ k′ −k dk′ = φ (k) où la dernière égalité vient de la seconde relation mathématique rappelée plus haut Z +∞ −∞ δ k −k′ f k′ dk′ = f (k) 2. BONUS : démontrer la relation très utile en physique Z +∞ −∞ e−αx2dx = rπ α (5) où α est un réel positif (mais cette relation reste vraie même (i) si α est complexe et que sa partie réelle reste positive, (ii) ou si on remplace x par x −β avec β un nombre complexe). Indication : considérer le produit R +∞ −∞e−αx2dx R +∞ −∞e−αy2dy et passer en coordonnées polaires. 2022-2023 Page 2 sur 10 TD 3 – Paquet d’ondes gaussien : structure et évolution – Corrigé – LU3PY101 - Physique Quantique 1 Solution: Suivant l’indication, on calcule le carré de la quantité recherchée Z +∞ −∞ e−αx2dx 2 = Z +∞ −∞ e−αx2dx Z +∞ −∞ e−αy2dy = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ e−α(x2+y2)dxdy et on passe en coordonnées polaires (x, y) − →(r, θ) x2 + y2 = r2 et dxdy = rdrdθ Z +∞ −∞ e−αx2dx 2 = Z +∞ 0 Z 2π 0 e−αr2rdrdθ = π Z +∞ 0 e−αr22rdr = π Z +∞ 0 e−αr2dr2 qui s’intègre facilement sur la nouvelle variable r2 Z +∞ −∞ e−αx2dx 2 = π " −e−αr2 α #+∞ 0 = π α et dont la racine carrée redonne bien le résultat recherché. 3. On considère une particule décrite, à l’instant initial t = 0, par le paquet d’ondes gaussien suivant Ψ (x, 0) = Ne−x2/4σ2 (6) avec N un nombre complexe. Rappeler l’interprétation probabiliste d’une fonction d’onde et déterminer |N| pour que Ψ (x, 0) soit normé à 1. Dans la suite, on choisira N réel positif. Solution: Selon l’interprétation probabiliste (de Born) de la physique quantique, le module au carré d’une fonction d’onde décrivant un système physique est égale à la densité de probabilité de présence de ce système. Attention, c’est une densité de probabilité, pas une probabilité ! La probabilité de présence dans un intervalle infinitésimal dx autour du point x est alors égale à dP (x, t) = |Ψ (x, t)|2 dx ce qui souligne que la probabilité de présence en un point (avec dx tendant vers 0) est toujours nulle. Comme le système physique est nécessairement quelque part sur l’axe x, la somme de ces 2022-2023 Page 3 sur 10 TD 3 – Paquet d’ondes gaussien : structure et évolution – Corrigé – LU3PY101 - Physique Quantique 1 probabilités doit redonner 1 : Z +∞ −∞ |Ψ (x, t)|2 dx = 1 (7) quelque soit l’instant t considéré. C’est la condition de normalisation d’une fonction d’onde. À t = 0, on a donc : 1 = Z +∞ −∞ |Ψ (x, 0)|2 dx = Z +∞ −∞ |N|2 e−x2/2σ2dx = |N|2 Z +∞ −∞ e−x2/2σ2dx = |N|2 r π (1/2σ2) = |N|2 σ √ 2π d’où |N| = 1 √ σ √ 2π, qui devient : N = 1 p σ √ 2π si l’on fait le choix de considérer N réel positif. Attention, la normalisation ne conditionne que le module du nombre complexe N qui est en facteur de la fonction d’onde, pas son argument. Pour l’argument (on dit aussi la “phase”), on est libre de prendre la valeur de notre choix. C’est une caractéristique importante de la physique quantique. 4. Calculer la position moyenne ⟨x⟩0 du paquet d’ondes Ψ (x, 0) . Solution: La position moyenne est définie de façon naturelle comme en théorie des proba- bilités : c’est la somme des positions possibles (à dx près) multipliées par leur probabilité ⟨x⟩0 = Z +∞ −∞ x |Ψ (x, 0)|2 dx = |N|2 Z +∞ −∞ xe−x2/2σ2dx = 0 La dernière égalité résultant du fait qu’on intègre une fonction impaire xe−x2/2σ2 sur un intervalle symétrique autour de x = 0. 5. Utiliser une intégration par parties pour déterminer la quantité x2 0 et montrer que la “largeur” 2022-2023 Page 4 sur 10 TD 3 – Paquet d’ondes gaussien : structure et évolution – Corrigé – LU3PY101 - Physique Quantique 1 △x0 = q ⟨x2⟩0 −⟨x⟩2 0 du paquet d’ondes Ψ (x, 0) est simplement égale à σ. Solution: Comme ci-dessus, la valeur moyenne s’obtient en sommant les valeurs possibles multipliées par leur probabilité x2 0 = Z +∞ −∞ x2 |Ψ (x, 0)|2 dx = 1 σ √ 2π Z +∞ −∞ x2e−x2/2σ2dx = −σ √ 2π Z +∞ −∞ (x) −x σ2 e−x2/2σ2 dx qui donne après intégration par parties x2 0 = −σ √ 2π h xe−x2/2σ2i+∞ −∞− Z +∞ −∞ e−x2/2σ2dx où le terme entre crochets s’annule et où la dernière intégrale est une intégrale gaussienne. On en déduit que x2 0 = σ2 et △x0 = q ⟨x2⟩0 −⟨x⟩2 0 = σ puisque ⟨x⟩0 = 0. 6. Montrer que φ (k) est aussi une gaussienne : φ (k) = σN √ 2 e−σ2k2 (8) Solution: Comme on l’a vu ci-dessus : φ (k) = Z +∞ −∞ e−ikx √ 2π Ψ (x, 0) dx = N √ 2π Z +∞ −∞ e−ikx−x2/4σ2dx Réarrangeons alors l’expression −ikx −x2/4σ2 pour obtenir une intégrale gaussienne sur x : −ikx −x2 4σ2 = − x + 2ikσ22 4σ2 −k2σ2 Ce qui donne φ (k) = N √ 2πe−k2σ2 Z +∞ −∞ e−(x+2ikσ2) 2 4σ2 dx La relation démontrée à la question 2 conduit alors au résultat : φ (k) = N √ 2πe−k2σ2√ π4σ2 = σN √ 2 e−σ2k2 2022-2023 Page 5 sur 10 TD 3 – Paquet d’ondes gaussien : structure et évolution – Corrigé – LU3PY101 - Physique Quantique 1 7. Calculer le produit de △x0 par △k, la “largeur en k” de φ (k). uploads/Sante/ td3-corrige 7 .pdf
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- Publié le Jui 18, 2021
- Catégorie Health / Santé
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