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Licence 3` eme ann´ ee JP COLOMBIER TP Physique Moderne II TP Physique Statisti

Licence 3` eme ann´ ee JP COLOMBIER TP Physique Moderne II TP Physique Statistique Contexte : Mod` ele d’Ising et Algorithme de Metropolis Le mod` ele d’Ising a ´ et´ e introduit pour expliquer la physique des mat´ eriaux ferromagn´ etiques, en particulier la transition de phase ferromagn´ etique/paramagn´ etique se produisant ` a la tem- p´ erature de Curie. L’objectif de ce TP consiste ` a eﬀectuer une simulation num´ erique du mod` ele d’Ising ` a deux dimensions, par la m´ ethode de Monte-Carlo Metropolis. Pour ces s´ eances, vous allez devoir utiliser deux programmes Matlab permettant de visualiser puis de calculer l’aiman- tation, la capacit´ e thermique ainsi que la susceptibilit´ e du mat´ eriau ferromagn´ etique en fonction de la temp´ erature. Visualisation du mod` ele d’aimantation 1.) Ouvrez le ﬁchier Ising-Visu.m et localisez les lignes o` u le changement d’´ energie interne as- soci´ e ` a un retournement de spin est calcul´ e. Pour comprendre le calcul, consid´ erez la m´ ethode de retournement de spin montr´ ee ci-dessous. Le site central correspond au site actuellement consid´ er´ e, avec les coordonn´ ees x et y, les sites sites environnants sont les plus proches voi- sins. Evaluez ` a la main les variables spinsum et inter pour la conﬁguration initiale et B = 0, J = 1. A partir de l’Hamiltonien du mod` ele d’Ising, calculez la diﬀ´ erence d’´ energie interne, E = Efin −Eini, associ´ ee au retournement de spin, et v´ eriﬁer qu’eﬀectivement E = −2 × inter. 2.) Localisez les lignes o` u la d´ ecision est prise de retourner ou non le spin. Evaluez (` a la main) la probabilit´ e du mouvement sugg´ er´ e en (1) pour les temp´ eratures r´ eduites Tred = 5.0 et Tred = 1.5. Est-ce que la probabilit´ e d’accepter ce retournement (qui d´ etruit l’alignement du spin) augmente-t-elle ou diminue-t-elle avec la temp´ erature ? Qu’en est-il de la probabilit´ e d’acceptation pour le mouvement inverse, de droite ` a gauche, dans (1) ? 3.) Fixez les param` etres du programme ` a L = 16, krun = 1000, J = 1 et B = 0. Eﬀectuez une simulation avec Tred = 5.0, copiez les ﬁgures dans votre document PPT et r´ edigez les explications sur ces ﬁgures. Estimez les valeurs moyennes de l’´ energie interne et l’aimantation par spin et notez-les dans votre document. D’apr` es le graphique, est-ce que 1000 pas de MC semblent ˆ etre un temps d’´ equilibrage suﬃsant ? 4.) R´ ep´ etez (3) pour Tred = 1.5 et commentez les diﬀ´ erences avec la question (3). 5.) R´ ep´ etez (4) pour Tred = 1.5 et J = −1, commentez les diﬀ´ erences avec (4). 1 Licence 3` eme ann´ ee JP COLOMBIER TP Physique Moderne II D´ ependance en temp´ erature du mod` ele d’Ising 2-d et eﬀets de taille ﬁnie 6.) Ouvrir le ﬁchier Ising-Temp.m et r´ egler les param` etres ` a L = 16, nblock = 10, kobs = 1000, J = 1 et B = 0. Ce programme eﬀectue des simulations pour une gamme de gamme de tem- p´ eratures traversant la transition de phase. Il commence ` a partir de tstart = 1.5 et eﬀectue tsteps = 40 simulations avec un incr´ ement de temp´ erature de 0.05 entre les simulations. Pour chaque temp´ erature, nblock simulations sont r´ ealis´ ees avec un temps d’observation kobs et un temps d’´ equilibrage kequ = kobs/10. Eﬀectuez une simulation, copiez la ﬁgure dans votre do- cument et r´ edigez une l´ egende. 7.) Estimez la temp´ erature de transition de phase ` a partir des graphiques. Comment se compare- t-elle avec la valeur exacte de Tc = 2.269185 ? Changez la taille du r´ eseau pour L = 32 et r´ ep´ etez, puis ` a L = 8 et r´ ep´ etez. Comparez les r´ esultats obtenus pour les diﬀ´ erentes tailles de motifs et commentez les diﬀ´ erences des temp´ eratures critiques, de la hauteur des pics de la capacit´ e thermique et de la susceptibilit´ e, ainsi que la ”largeur de la transition”. D´ ependance du champ magn´ etique du mod` ele d’Ising 2-d. 8.) Modiﬁez le programme Ising −Temp.m de mani` ere ` a faire varier le champ magn´ etique ` a temp´ erature ﬁxe et tracez les quatre quantit´ es en fonction du champ magn´ etique. Dans ce pro- bl` eme, nous sommes int´ eress´ es par l’hyst´ er´ esis, qui est un eﬀet hors ´ equilibre. Par cons´ equent, ﬁxez le temps d’´ equilibrage ` a 0 tout au long de ce probl` eme. De plus, le signe de l’aimantation est important, donc accumulez sur mcurrent plutˆ ot que abs(mcurrent). D´ eﬁnissez les para- m` etres suivants : L = 16, nblock = 10, kobs = 100, kequilib = 0, J = 1 et Tred = 5.0. Il s’agit de l’´ etat de r´ ef´ erence ` a haute temp´ erature o` u aucune hyst´ er´ esis ne se produit. Eﬀectuez une simulation, copiez la ﬁgure dans votre document et r´ edigez une l´ egende pour la ﬁgure. 9.) R´ eduisez la temp´ erature ` a Tred = 1.5 et eﬀectuez une simulation. R´ edigez une l´ egende de la ﬁgure et comparez les r´ esultats avec la simulation pr´ ec´ edente. D´ eterminez la largeur de la courbe d’hyst´ er´ esis, et localisez les pics de la capacit´ e thermique et de la susceptibilit´ e. Identiﬁez les valeurs maximales et minimales de l’´ energie par spin et justiﬁez ces valeurs. 10.) R´ ep´ etez l’exp´ erience pour la mˆ eme temp´ erature mais avec kobs = 10. D´ ecrivez les diﬀ´ e- rences dans les r´ esultats et donnez une explication physique. R´ ep´ etez ensuite pour kobs = 10 mais une temp´ erature Tred = 0.5. D´ ecrivez les diﬀ´ erences r´ esultats et donnez une explication physique que vous inscrivez dans votre document. Envoi de votre travail : 11.) Rassembler l’ensemble de vos ﬁchiers ∗.m et les ﬁgures dans un ppt que vous aurez ensuite transform´ e en ﬁchier .pdf et mettre le tout dans un dossier compress´ e zip. Envoyer le ﬁchier zip ` a l’adresse jean.philippe.colombier@univ-st-etienne.fr ou d´ eposer le sur l’ENT. 2 uploads/Sante/ tp-statistique.pdf