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Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 1 I-Définition et tracé de la fon

Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 1 I-Définition et tracé de la fonction : I-1:définition de la fonction steequ(x) : On va écrire un programme dans MATLAB (fichier.m) qui défini la fonction steequ(x), on écrit : %définition de la fonction steequ(x)% function y=steequ(x, R) y= (x.*(exp(x^2)).*erf(x))-1/ (sqrt (pi).*(1-R)); I-2:Tracé de la fonction steequ(x) : On va tracer la fonction pour des déférentes valeurs de R dans le même graphe, il faut définir pour chaque valeur de Ri une fonction yi (c.-à-d.) yi= steequ(x, Ri). Pour représenter les fonctions y dans le même graphe on utilise la commande (hold on), on écrit : >>x=-0.5:0.01:2; >> y1=steequ(x, 1.1); >>y2=steequ(x, 1.5); >>y3=steequ(x, 2); >>y4=steequ(x, 3); >> plot(x, y1, x, y2, x, y3, x, y4); >> grid on Finalement on obtient cette figure : Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 2  Conclusion : Cette représentation graphique montre que pour chaque valeur de R la fonction (steequ) passe par un zéro. I-3 calculs des valeurs limites (xmin, xmax) : Hamill et Bankoff montre que pour une valeur de R donner la valeur exacte de x est compris entre xmin et xmax telle que : ݔ݉݅݊=ට ଵ ଶோ et ݔ݉ܽݔ=ට ଵ ଶ(ோିଵ) On peut écrire un programme qui nous permet de calculé les valeurs limites et les valeurs correspondants a la fonction steequ : %calcul des valeurs limite% R=input ('donner la valeur de R=') ; Xmin=sqrt (1. / (2.*R)); Xmax=sqrt (1. / (2.*(R-1))); steequ (xmin, R); steequ (xmax, R); {'xmin','xmax','steequ(xmin)','steequ(xmax)';[xmin],[xmax],[steeq u(xmin,R)],[steequ(xmax,R)]} Pour toutes les valeurs de R listées dans ce tableau on obtient : R xmin steequ(xmin) xmax steequ(xmax) 1.1 0.6742 -4.94.12 2.2361 325.7005 1.2 0.6455 -2.1956 1.5811 15.9530 1.5 0.5774 -0.6564 1 1.1623 2 0.5000 -0.2300 0.7071 0.2317 5 0.3162 -0.0204 0.3536 0.0124 10 0.2236 -0.0043 0.2357 0.0024 100 0.0707 -3.8145e-005 0.0711 1.9227e-005 Les limites proposées par Hamill et Bankoff permettent de définir l’intervalle [xmin, xmax ] contenant le zéro de l’équation (steequ) parce que pour toute les valeurs de R on a que : steequ(xmin) × steequ(xmax) < 0 Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 3 I-Méthode de dichotomie : 1-L’erreur de la méthode de dichotomie : On a défini précédemment l’intervalle qui constitue le zéro de la fonction steequ ,ceci constitue la première étape pour appliquer la méthode de dichotomie .La deuxième étape consiste définir la tolérance avec laquelle nous désirons obtenir le zéro . L’erreur de la méthode de dichotomie est défini par : ݁ܰ(R) ≤ܧܰ(R) = |ܽ−ܾ| 2ܰ+1 avec: N c’est le nombre d’itérations Pour notre cas a que : a = ݔ௠௜௡=ට ଵ ଶோ et b = ݔ௠௔௫=ට ଵ ଶ(ோିଵ) ܧே(R) = ට భ మ(ೃషభ) ିටభ మೃ ଶಿశభ ⟹ ܧே(R) = ට ೃ (ೃషభ) ିଵ √ோ ଶಿశయ మ Finalement on obtient : ܧே(R) = ට భ (భష(భೃ ൗ)) ିଵ √ோ ଶಿశయ మ 2- Le script de la méthode de dichotomie : On va écrire le script de la méthode de dichotomie on prenant comme des argument d’entrée l’erreur et la solubilité relative R. Les arguments de sortie le nombre maximum d’itération, la valeur de la fonction on ce point. format long e=input('donner la valeur de lerreur e='); R=input('donner la valeur de R='); xmin=sqrt(1./(2.*R)); xmax=sqrt(1./(2.*(R-1))); k=log2(abs(xmin-xmax)/e)-1; n=uint8(k); {'xmin','xmax','f(x1)','f(x2)';[xmin],[xmax],[steequ(xmin,R)],[stee Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 4 qu(xmax,R)]} i=0; for i=0:n i=i+1; x0=(xmax+xmin)/2; if steequ(x0,R)*steequ(xmin,R)<0 xmax=x0; else xmin=x0; end disp([i,x0,steequ(x0,R)]); end end x0 disp('le nombre d’itérations nécessaire est N=') i-1 Pour toutes les valeurs de R listées dans ce tableau et pour une erreur e=0.0001 on obtient : R ݔ௘௫௔ ݔௗ௜௖௛ N |ݔ௘௫௔−ݔௗ௜௖௛| |ݔ௠௜௡−ݔ௠௔௫| 2ேାଵ 1.001 2.342068 2.341965 15 1.029 10ିସ 3.3 10ିସ 1.01 1.850946 1.851055 14 1.08 10ିସ 1.94 10ିସ 1.5 0.800601 0.800438 10 1.63 10ିସ 2.063 10ିସ 2 0.620063 0.619935 9 1.28 10ିସ 2.02 10ିସ 5 0.340082 0.339847 6 2.349 10ିସ 2.91 10ିସ 10 0.231514 0.231544 4 3 10ିହ 3.77 10ିସ 100 0.070948 0.0709778 1 2.979 10ିହ 8.90 10ିହ Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 5 Conclusion : D’après le tableau on que l’inégalité suivantes |ݔ݁ݔܽ−ݔ݀݅ܿℎ| ≤ |ݔ݉݅݊−ݔ݉ܽݔ| 2ܰ+1 est toujours vérifiée. II-Méthode de sécante : La méthode de la sécante considère le point d’intersection ݔ3 de la sécante passant par les deux points de coordonnées (ݔ݊−1, f(ݔ݊−1)) et (ݔ݊,f(ݔ݊)) avec l’axe des abscisses (ox). La méthode de la sécante base sur le processus itératif suivant : ݔ௡ାଵ = ݔ௡ - ௫೙ି௫೙షభ ୤(௫೙)ି୤(௫೙షభ) f (ݔ௡) 2- Le script de la méthode de la sécante: On va écrire le script de la méthode de la dichotomie on prenant comme des arguments d’entrée le nombre R, la tolérance et le nombre maximum d’itérations. Les arguments de sortie le nombre d’itération nécessaire, la valeur de la racine a chaque itération, la valeur de la fonction on ce point. %méthode de la sécante% format long R=input('donner le nombre R='); e=input('donner la tolérance e='); x0=sqrt(1./(2.*R)); x1=sqrt(1./(2.*(R-1))); N=input('donner le nombre maximum de itérations est N='); for i=0:N c=x1-steequ(x1,R)*(x1-x0)/(steequ(x1,R)-steequ(x0,R)); err=abs(x0-x1) x0=x1; Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 6 x1=c; if err<e ,break,end disp([i,c]); end disp('le nombre nécessaire d’itération est ') n=i if err>e disp('le nombre d’itération donnée n est pas suffisant pour atteindre cette tolérance') end Pour toutes les valeurs de R listées dans le tableau on prend la tolérance e=10−4 comme la méthode de dichotomie pour comparer les deux méthodes. R ݔ௘௫௔ ݔ௦௘௖ N |ݔ௘௫௔−ݔ௦௘௖| 1.001 2.342068 Inf ………. Inf 1.01 1.850946 Inf ……. Inf 1.5 0.800601 0.800600 5 10ି଺ 2 0.620063 0.620062 4 10ି଺ 5 0.340082 0.340082 3 0.0000000 10 0.231514 0.231512 2 2 10ି଺ 100 0.070948 0.070947 2 10ି଺ 3- comparaison des deux méthodes (dichotomie avec la sécante): On remarque qu’avec la même erreur la méthode de la sécante converge vers le zéro de la fonction plus rapidement que la méthode de la dichotomie, et on remarque aussi que : |ݔ݁ݔܽ−ݔݏ݁ܿ| < |ݔ݁ݔܽ−ݔ݀݅ܿℎ| et que |ݏݐ݁݁ݍݑ(ݔݏ݁ܿ)| < |ݏݐ݁݁ݍݑ( ݔ݀݅ܿℎ)| . 4-conclusion :  La méthode de la sécante converge vers la solution rapidement que la méthode de dichotomie.  Avec la méthode de dichotomie on est sûre d’arrivé au zéro de la fonction, mais avec la méthode de la sécante des fois on tombe sur des singularités. Licence physique énergétique S6 : TP ANA -NUM 7 uploads/Sante/ tp-math-06-pdf 1 .pdf