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Travaux Pratiques de Physique Expérience n°9 1 Expérience n°9 – PENDULES MECANI

Travaux Pratiques de Physique Expérience n°9 1 Expérience n°9 – PENDULES MECANIQUES Domaine: Mécanique Lien avec le cours de Physique Générale: Cette expérience est liée aux chapitres suivants du cours de Physique Générale: ‐ Physique I, Chapitre 3: Dynamique : Newton, force et action ‐ Physique I, Chapitre 6: Mouvement circulaire et gravitation ‐ Physique I, Chapitre 7: Mouvement harmonique et résonance Objectif général de l’expérience L’objectif de cette expérience est d’étudier le mouvement oscillatoire d’un pendule mécanique. Dans un premier temps, la période d’oscillation d’un pendule sera mesurée pour différentes amplitudes du mouvement afin de mettre en évidence le défaut d’isochronisme du pendule. Dans un deuxième temps, la mesure de la période d’oscillation en fonction de la longueur du pendule sera utilisée pour déterminer l’accélération de la pesanteur g. 1 Introduction 1.1) Définition et contexte historique En physique, un pendule est un corps solide pouvant osciller autour d’un point ou d’un axe fixe et qui, écarté de sa position d’équilibre, y retourne en oscillant sous l’effet d’une force, par exemple la gravité. Le mot pendule donné par Huygens (1629‐1695) vient du latin pendere, qui signifie "pendre". Un pendule est animé d’un mouvement périodique caractérisé par son amplitude A (écartement maximal par rapport à la position d’équilibre) et par sa période T (durée d’un cycle d’oscillation). La fréquence d’oscillation  correspond à l’inverse de la période (= 1/T). La fréquence angulaire ou pulsation  est donnée par  = 2. Généralement, la période d’un pendule dépend de l’amplitude de son mouvement. Lorsque la période d’oscillation est indépendante de l’amplitude, on parle d’isochronisme. Il existe de nombreux types de pendules différents, chacun ayant un intérêt particulier. Ils ont été ou sont utilisés dans le cadre d’expériences ayant pour objectif de mettre en évidence un phénomène physique (par exemple l’isochronisme) ou encore à des fins métrologiques. Ainsi les pendules furent les premiers gravimètres, c’est‐à‐dire, les premiers systèmes physiques capables de mesurer l’accélération due à la pesanteur g (1659). Ils servirent aussi à la mesure du temps et furent à l’origine des premières horloges modernes. Il existe aussi certains pendules célèbres comme le pendule de Foucault (1851), qui permit de mettre en évidence la rotation quotidienne de la Terre. Tous les pendules sont soumis aux lois de la mécanique. Il faut cependant distinguer le pendule simple (ou mathématique), qui est une représentation idéale du pendule le plus simple possible, et le pendule physique qui est une représentation plus réelle. Un pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle fixée à l’extrémité d’un fil inextensible ou d’une tige rigide, tous deux de masse nulle. Au contraire, le pendule physique tient compte de la répartition spatiale de la masse du corps suspendu. Pour cette raison, les lois physiques utilisées pour la description de leur mouvement sont différentes, mais on verra qu’elles mènent à des expressions très similaires. Travaux Pratiques de Physique Expérience n°9 2 La nature ponctuelle du pendule simple permet de décrire son mouvement par la 2ème loi de Newton de la dynamique. Pour le pendule physique, le volume fini occupé par la masse, qui est caractérisé par le moment d’inertie du corps par rapport à son centre de masse, nécessite de traiter le problème par l’intermédiaire du moment cinétique du système qui décrit le mouvement de rotation d’un corps autour d’un axe. Dans cette expérience, les mesures se feront dans un premier temps sur un petit pendule suspendu par une tige rigide, qu’on assimilera à un pendule simple, puis sur un pendule physique que l’on nomme le grand pendule, composé d’une sphère suspendue à un fil (dont on ne prendra pas en compte la masse). Ce pendule physique sera utilisé pour déterminer l’accélération de la pesanteur g. 2 Principe général de l’expérience 2.1) Equations du mouvement d’un pendule Les équations du mouvement du pendule simple et du pendule physique ont la même forme, la seule différence étant le moment d’inertie I0 par rapport au point de rotation O qui intervient dans le cas du pendule physique. Un calcul détaillé pour obtenir l’équation du mouvement et l’expression de la période d’oscillation d’un pendule simple, puis d’un pendule physique, est présenté dans l’Annexe 1. Les équations du mouvement ne peuvent généralement pas être résolues de manière analytique et la période des oscillations dépend de l’amplitude du mouvement. Cependant, une solution analytique peut être trouvée dans le cas où l’amplitude des oscillations est petite ( <<1, où  représente l’angle de déviation du pendule par rapport à sa position d’équilibre, voir Figure 1). Dans ce cas, on peut faire l’approximation    sin et les équations générales du mouvement de l’annexe 1 deviennent: ‐ Pendule simple :      0 g l ; (Eq. 1) ‐ Pendule physique :      O 0 Mgl I . (Eq. 2) Les équations (Eq. 1) et (Eq. 2) sont du même type (oscillateur harmonique). La solution générale de ces équations s’écrit:        ( ) sin t A t . (Eq. 3) A et α sont des constantes d’intégration qui dépendent des conditions initiales. Par exemple, si on lâche le pendule sans vitesse initiale avec un angle de départ 0, on obtient:             0 0 et ( ) cos 2 A t t . (Eq. 4) On obtient ainsi une oscillation harmonique sinusoïdale dont la période vaut   2 T , soit : ‐ Pour un pendule simple :   2 g l      2 2 l T g ;. (Eq. 5) ‐ Pour un pendule physique :   2 O Mgl I        O 2 2 2 I L T Mgl g , (Eq. 6) où L est la longueur réduite du pendule physique (voir §2.1.1). On constate que la période des oscillations est indépendante de l’amplitude du mouvement. On parle alors d’isochronisme. Ceci n’est Travaux Pratiques de Physique Expérience n°9 3 valable que dans l’approximation des petits angles (    sin ) qui a été utilisée pour résoudre les équations générales du mouvement (Eq. 18) et (Eq. 22). Dans le cas général où le mouvement n’est pas limité à de petites amplitudes, la période d’oscillation dépend de l’amplitude du mouvement. C’est le défaut d’isochronisme qui sera étudié dans la première partie de ce TP. On peut montrer que la période  ( ) T s’exprime alors comme une série                     2 2 2 4 0 0 0 0 ( ) 1 1 3 1 sin sin ... 2 2 2 4 2 T T , (Eq. 7) où T0 est la période correspondant aux petites amplitudes donnée par (Eq. 5) ou (Eq. 6). 2.1.1 Longueur réduite du pendule physique Les équations (Eq. 1) et (Eq. 2) sont de la même forme. On appelle longueur réduite du pendule physique la longueur L du pendule simple donnant lieu à la même équation du mouvement et donc à la même période:   O I L Mgl g  0 I L Ml . (Eq. 8) 2.2) Moment d’inertie du pendule physique utilisé dans cette expérience 2.2.1 Moment d’inertie et règle de Steiner Les équations du mouvement du pendule physique font intervenir le moment d’inertie du pendule. Le moment d’inertie d’un solide caractérise la résistance de l’objet à être mis en rotation : plus le moment d’inertie d’un objet est important, plus la mise en rotation du solide va nécessiter l’application d’un moment de force important. Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe O est défini de la façon suivante:  2 O i i i I m r (Eq. 9) Dans le cas d’objets avec des géométries simples, le moment d’inertie peut être calculé de façon relativement aisée par rapport à un axe de rotation passant par leur centre de gravité G (on note IG ce moment d’inertie). Dans cette expérience, nous nous intéressons au mouvement de rotation d’un solide (un pendule physique) autour d’un point fixe O qui, en général, ne correspond pas au centre de gravité du pendule : le moment d’inertie IO en question doit être évalué par rapport au centre de rotation du mouvement auquel on s’intéresse. On peut alors calculer ce moment d’inertie à partir de IG en appliquant la règle de Steiner :   2 O G I I ml , (Eq. 10) l étant la distance qui sépare l’axe de rotation du centre de gravité de l’objet. 2.2.2 Sphère suspendue à un fil (Pendule 2) Considérons le cas du pendule physique représenté sur la Figure 1 (correspond au grand pendule utilisé dans la deuxième partie du TP pour la détermination de g). Ce pendule est composé d’une sphère de rayon R suspendue à un fil de masse négligeable. Le moment d’inertie IG de la sphère par rapport à un axe passant par uploads/Sante/ tp-mecaniques.pdf