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Chapitre 8 Traitement Numérique du Signal 8.1 De la T.F. à la T.F.D. Le but de

Chapitre 8 Traitement Numérique du Signal 8.1 De la T.F. à la T.F.D. Le but de ces deux exercices est d’étudier dans deux cas particuliers de signaux la relation entre la Transformée de Fourier déﬁnie par : X(f) = Z R x(t)e−i2πftdt et la Transformée de Fourier Discrète calculée par : k = 0, ..., N −1 XD (k) = N−1 X n=0 x (n) e −i2πkn N Pour cela, l’étude sera menée en plusieurs étapes : — problème du support ﬁni du signal observé : eﬀet de la troncature sur la Transformée de Fourier étudié par le passage de la Transformée de Fourier à la Transformée de Fourier Tronquée : XL(f) = Z +L 0 x(t)e−j2πftdt — problème de l’échantillonnage du signal : passage de la Transformée de Fourier Tronquée à la Transformée de Fourier Numérique : XN (f) = N−1 X n=0 x (nTE) e−i2πfnTE 43 44 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal — et enﬁn, pour le deuxième exercice seulement, problème du calcul nu- mérique de la Transformée de Fourier Numérique qui ne peut être cal- culée sur une échelle continue en fréquence mais dont le résultat sera forcément discrétisé en fréquence : passage à la Transformée de Fourier Discrète. EXERCICE 1 Etude de la TFD d’un signal à spectre continu On considère le signal x (t) = e−at pour t ≥0 = 0 pour t < 0 avec a > 0. 1. Montrer que la transformée de Fourier tronquée XL(f) = Z L 0 x(t)e−j2πftdt s’écrit XL(f) = X(f)G(f, L) où X(f) est la transformée de Fourier de x(t). Le terme G(f, L) représentant l’erreur commise en utilisant la Transformée de Fourier Tronquée à la place de la véritable Transformée de Fourier, déterminer le module et la phase de cette erreur multiplicative. Donner un encadrement de |G(f, L)|2 que l’on chiﬀrera pour L = 4 a. Pour L >> 1 a, donner une valeur approchée de la phase de G(f, L). 2. Dans un deuxième temps, le signal est échantillonnée à la fréquence d’échantillonnage FE = 1/TE et on remplace la Transformée de Fourier Tronquée de x(t) par la Transformée de Fourier Numérique (TFN) : XN (f) = N−1 X n=0 x (nTE) e−i2πfnTE (a) Comment faut-il choisir la fréquence d’échantillonnage FE et le nombre de points N ? On sera amené à déﬁnir 8.1. De la T.F. à la T.F.D. 45 une largeur de bande spectrale ∆f du signal en consi- dérant par exemple que : |X (∆f)| |X (0)| = 0.01 (b) Etablir la relation entre la TFN et la TF tronquée de la question 1 en utilisant les hypothèses suivantes : — le spectre du signal considéré est basse fréquence et que les fréquences d’intérêt sont telles que f ¿ FE/2 — et L À 1/a. Retrouver la périodicité de la TFN. EXERCICE 2 Etude de la TFD d’un signal à spectre de raies On considère le signal x(t) = Aei(2πf0t+φ) t ∈R 1. Comparer la Transformée de Fourier de ce signal avec sa Transformée de Fourier Tronquée, déﬁnie dans l’exercice pré- cédent. 2. Comparer la Transformée de Fourier Tronquée avec sa Trans- formée de Fourier Numérique, déﬁnie dans l’exercice précé- dent. 3. En déduire la Transformée de Fourier Numérique dans le cas où x(t) = A cos (2πf0t) 4. Pour calculer la Transformée de Fourier Numérique, il est nécessaire de discrétiser l’échelle des fréquences et, pour des raisons algorithmiques, on décide de calculer cette transfor- mée de Fourier aux fréquences de la forme : k = 0, ..., N −1 fk = k N FE On obtient alors la Transformée de Fourier Discrète : k = 0, ..., N −1 XD (k) = N−1 X n=0 x (n) e −i2πkn N Calculer la TFD de x(t) = A cos (2πf0t) dans deux cas : 46 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal (a) la fréquence f0 est commensurable avec FE c’est-à-dire : ∃ k0 ∈{0, ..., N −1} tel que f0 = k0 N FE (b) la fréquence f0 n’est pas commensurable avec FE f0 = k0 + ε N FE 0 < ε < 1 5. Intérêt du “zero-padding” : montrer que si on calcule la TFD sur un signal x(n) quelconque “paddé” par des zéros, c’est-à-dire, si on calcule la TFD sur y(n) tel que : y(n) = x(n) pour n = 0, ..., N −1 = 0 pour n = N, ..., NM −1 M ∈N on calcule M points intermédiaires entre deux points de la TFD de x(n). 8.1. De la T.F. à la T.F.D. 47 1 / N Exemple de calcul de la TFD dans le cas d’une fréquence de composante sinusoïdale commensurable avec la fréquence d’échantillonnage. 1/ N Exemple de calcul de la TFD dans le cas d’une fréquence de composante sinusoïdale non commensurable. 48 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal 0 0. 05 0. 1 0. 15 0. 2 0. 25 0. 3 0. 35 0. 4 0. 45 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 16 poi nt s de si gnal , 16 poi nt s de TF 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 poi nt s de si gnal , 32 poi nt s de TF 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0 2 4 6 8 10 16 poi nt s de si gnal , 64 poi nt s de TF 16 poi nt s de si gnal , 1024 poi nt s de TF 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0 2 4 6 8 10 Illustration de l’intérêt du zero-padding : on “voit” apparaître le sinus cardinal et on reconnaît alors la présence d’une “raie”. 8.2 Filtrage Numérique EXERCICE 3 Etude de la cellule du second ordre : cellule purement récursive. Soit un système déﬁni par l’équation aux diﬀérences : y(n) = x(n) −a1y(n −1) −a2y(n −2) 1. Exprimer sa fonction de transfert en Z. Dans le cas où a2 1 < 4a2, représeneter ses pôles en coordonnées polaires (r, θ) ; en déduire une expression de H(z) en fonction de r et de θ. Dans le plan des coeﬃcients (a1 en abscisse, a2 en ordonnée), tracer le domaine de stabilité du ﬁltre. A.N. a1 = −1.1314 a2 = 0.64. 8.2. Filtrage Numérique 49 2. Donner l’expression de la réponse en fréquence en fonction de a1 et de a2. À quelle condition existe-t-il une fréquence de résonance et quelle est sa valeur? Démontrer que l’amplitude à la résonance est inversement proportionnelle à la distance du pôle au cercle unité. Tracer la courbe en fréquence pour a1 = −1.1314 et a2 = 0.64. 3. Donner l’expression de la réponse impulsionnelle h(n) et la tracer en fonction de n (paramètres r et θ). EXERCICE 4 Etude de la cellule du second ordre générale. On considère une équation plus générale : y(n) = x(n)+b1x(n−1)+x(n−2)−a1y(n−1)−a2y(n−2) avec |b2| < 2 Démontrer que cette cellule du second ordre peut être considé- rée comme la mise en cascade de la cellule purement récursive précédente et d’un ﬁltre RIF à phase linéaire et à minimum de phase. EXERCICE 5 Etude de la cellule du second ordre : ﬁltre passe-tout. Considérons le ﬁltre suivant : y(n) = a2x(n) + a1x(n −1) + x(n −2) −a1y(n −1) −a2y(n −2) Exprimer la fonction de transfert en Z du système; représenter ses pôles et ses zéros pour a1 = −1.1314 et a2 = 0.64. Démontrer que ce ﬁltre est un déphaseur pur. EXERCICE 6 Etude de la cellule du second ordre : ﬁltre à encoche. Un cas particulier important de la cellule du second ordre est le "ﬁltre à encoche", utilisé comme un réjecteur de fréquence. Sa fonction de transfert s’écrit : H(z) = 1 + a1z−1 + z−2 1 + a1 (1 −ε) z−1 + (1 −ε)2 z−2 |a1| < 2, ε petit 50 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal 1. Représenter ses pôles et ses zéros en coordonnées polaires. 2. Montrer que la bande rejetée à -3dB est égale à B = √ 2ε π . 8.3 Eléments de correction Ces éléments de correction concernent le premier exercice de l’étude de la cellule du second ordre : la cellule purement récursive. La réponse fréquentielle (question 2) s’obtient : |H(e ω)|2 = H(z)H(z−1)|z=eje ω avec H(z)H(z−1) = z2 z2 + a1z + a2 z−2 z−2 + a1z−1 + a2 = 1 1 + a2 1 + a2 2 + a1 (1 + a2) (z + z−1) + a2 (z2 + z−2) En prenant z sur le cercle unité |H(e ω)|2 = 1 1 + a2 1 + a2 2 + 2a1 (1 + a2) cos(e ω) + 2a2 cos(2e ω) Il existe une fréquence de résonance f0 (non égale à 0 et à 0.5) si le dénomi- nateur passe par un minimum. La dérivée du dénominateur s’écrit : D0 = −2 (a1 (1 + a2) + 4a2 cos (e ω)) uploads/Sante/ traitement-numerique-exercice-corrige.pdf