Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

IDENTITÉS REMARQUABLES & Formules à noter de degré supérieur à 2 Identités rema

IDENTITÉS REMARQUABLES & Formules à noter de degré supérieur à 2 Identités remarquables en puissance n Voir Développements, notamment usage en numération Vocabulaire: on parle d'identités ou de formules remarquables ou … moins remarquables. Développement "magique" avec les coefficients polynomiaux Pour développer (a + b)n ou (a + b + c + …)n , etc. , utilisez le calcul des coefficients multinomiaux. Une simple fraction de factorielles. Exemple: pour (a + b + c)6 Formules de degré 3 et plus IDENTITÉS avec le 3e degré (a + b)3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b3 >>> (a – b)3 = a 3 – 3a²b + 3ab² – b3 a3 – b3 = (a – b) (a² + ab + b² ) >>> a3 – 1 = (a – 1) (a² + a + 1 ) a3 + b3 = (a + b) (a² – ab + b² ) Somme de deux cubes divisible par somme des nombres. Ex: 93 + 93 = 18 x 81. a3 + c3 Quelle que soit la valeur de b = = (a – b) (a² + ab + b² ) + (c + b) (c² – cb + b² ) (a3 – b3) + (c3 + b3 ) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca) Identité de Gauss >>> a3 + 2b3 + c3 = (a + b) (a² – ab + b² ) + (c + b) (c² – cb + b² ) a3 + 1 = (a + 1) (a² – a + 1 ) (a + 1)² (a + 1) = a3 + a² + a + 1 (a + 1)² (a – 1) = a3 + a² – a – 1 (a – 1)² (a + 1) = a3 – a² – a + 1 (a2 + a – 1) (a + 1) = a3 + 2a2 – 1 (a2 – a – 1) (a – 1) = a3 – 2a2 + 1 (a + b + c)3 = a3 + b3 +c3 + 3 ( a²b + a²c + b²c + ab² + ac² + bc² ) + 6 abc (a + b)3 + (a – b)3 = 2a3 + 6ab² (a + b)3 – (a – b)3 = 2b3 + 6a²b (a + b)3 * (a – b)3 = a6 – 3a4b2 + 3a2b4 – b6 (a + b)3 / (a – b)3 rien d'intéressant (a–b)3 + (b–c)3 + (c–a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a) n3 – n = (n – 1) n (n + 1) >>> n3 + (n + 1)3 = (2n + 1) (n2 + 2n + 1) >>> Voir Somme de cubes et nombres d'Eisenstein / Nombres de dizaines et unités / Applications (élimination de la racine cubique au dénominateur) Racines cubiques Voir Calculs avec les racines cubiques Puissances et factorielles La énième différence finie des puissances énièmes est égale à factorielle n. Voir Explications et démonstration IDENTITÉS avec le 4e degré a4 = >>> (a + b)4 = a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a – b)4 = a 4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4 a4 + b4 = = (a + b)² (a – b)² – 2a²b² aucune factorisation a4 – b4 = = = = (a² + b²) (a² – b²) (a² + b²) (a + b) (a – b) (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3 ) (a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3 ) >>> a4 + 4b4 = = (a² + 2ab + 2b²)( a² – 2ab + 2b²) [(a + b)² + b²] [(a – b)² + b²] a4 – 4b4 = (a² + 2b²) (a² – 2b²) a4 + b4 + (a + b)4 = 2 (a² + ab + b²)2 (a + 1)3 (a – 1) = a4 + 2a3 – 2a – 1 (a – 1)3 (a + 1) = a4 – 2a3 + 2a – 1 (a + b + c)4 = a4 + b4 + c4 + 4a3b + 4a3c + 4b3c + 6a²b²+ 6a²c²+ 6b²c² + 4ab3 + 4ac3 + 4bc3 12ab²c + 12abc² + 12a²bc (a + b)4 + (a – b)4 = 2a4 + 12a²b² + 2b4 (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a² + b²) (a + b)4 (a – b)4 = a8 + b8 + 6a4b4 – 4a²b² (a4 + b4) (a + b)4 / (a – b)4 rien d'intéressant a4 + a2 + 1 = (a² + a + 1) (a² – a + 1) Identité d'Argand >>> a4 + a3 + a + 1 = (a + 1)2 (a² – a + 1) a4 – a3 – a + 1 = (a – 1)2 (a² + a + 1) n4 – 1 = = = (n + 1) (n3 – n2 + n – 1) (n – 1) (n3 + n2 + n + 1) (n – 1) (n + 1) (n² + 1) >>> n4 – n = n (n3 – 1) = n (n – 1) (n² + n + 1) n4 + n2 + 1 = = = n4 + 2n2 + 1 − n2 = (n2 + 1)2 − n2 (n2 + n + 1)(n2 − n + 1) n4 + 4 = = (n2 +2)2 – 4n2 (n2 – 2n + 2n) (n2 + 2n + 2) n4 + 4n = (2n + n2)2 – n2 2n+1 >>> n4 + 2n3 – n2 – 2n = (n – 1) n (n + 1) (n + 2) >>> (n² + 3x + 1)² = = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 Application n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 (n² + 3x – 1)² = = (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 1 n4 + 2n3 – n2 – 2n + 1 (n² + 3x – 1)² = = (n – 2) (n – 1) n (n + 1)) + 1 n4 – 2n3 – n2 + 2n + 1 n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 (n2 + 3n + 1)2 Voir Produit de 4 nombres consécutifs +1 = carré n4 + n2 + 1 = (n² – n + 1) (n² + n + 1) = Voir Application a la somme d'une suite n4 + 4 n'est premier que pour n = 1, seule valeur portant le premier facteur à 1. n4 + 4n n'est premier que pour n = 1 Voir Démo IDENTITÉS avec le 5e degré (a + b)5 = a 5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 (a – b)5 = a 5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5 a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 ) a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 ) >>> a5 + 1 = (a + 1) (a4 – a3 + a2 – a + 1 ) a5 – 1 = (a – 1) (a4 + a3 + a2 + a + 1 ) (a + 1)3 (a – 1)2 = a5 + a4 – 2a3 – 2a2 + a + 1 (a – 1)3 (a + 1)2 = a5 – a4 – 2a3 – 2a2 + a – 1 n5 – n = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n – 1) n (n + 1) Voir Divisibilité par 30 n5 – 5n3 + 4n = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) >>> n6 – 1 = (n+1) (n–1) (n4+n2+1) n7 – n = (n+1) n (n–1) (n4+n2+1) n5 – n Les 6 seules possibilités = = = = = = (n2 – n + 3) (n3 + n2 – 2n – 5) + 15 (n2 + n + 3) (n3 – n2 – 2n + 5) – 15 (n3 – 12n2 + 89n – 408) (n2 + 12n + 55) + 22 440 (n3 + 12n2 + 89n + 408) (n2 – 12n + 55) – 22 440 (n3 + 12n2 – 233n – 7 320) (n2 – 12n + 377) + 2 759 640 (n3 – 12n2 – 233n + 7 320) (n2 + 12n + 377) – 2 759 640 IDENTITÉS de degré > 5 a6 + b6 = (a² + b²) (a4 – a2b2 + b4) a6 – b6 = (a + b) (a – b) (a² + ab + b²) (a² – ab + b²) a7 + b7 = (a + b) (a6 – ab5 + a2b4 – a3b3 + a4b2 – a5b + b6) a7 – b7 = (a – b) (a6 + ab5 + a2b4 + a3b3 + a4b2 + a5b + uploads/Societe et culture/ identita-s-remarquables.pdf