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1 COURS DE LICENCE 2 – SCIENCES ECONOMIQUES COURS D’ANNIE CLARET MATHEMATIQUES

1 COURS DE LICENCE 2 – SCIENCES ECONOMIQUES COURS D’ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN – SERIE 7 ANNEE 2010 - 2011 2 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le sous chapitre pour y accéder Chapitre I Les suites SECTION I - LES SUITES, GENERALITES I. Les suites, généralités A. Définition B. Notation C. Exemples D. Opérations sur les suites E. Suites convergentes II. Théorème de convergence pour les suites réelles A. Définitions B. Théorème (admis) C. Exemples D. Étude de SECTION II - LES SUITES RECURRENTES LINEAIRES I. Généralités II. Equation d’ordre 1 A. Résolution de (2) B. Comportement des solutions de (2) C. Solutions particulières de (1) D. Exemples (2) III. Equation d’ordre 2 A. Résolution de (2) B. Comportement des solutions de (2) C. Solutions particulières de (1) D. Exemples E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson 3 SECTION III – ESPACES VECTORIELS I. Etude de la structure de R² II. Espaces Vectoriels A. Définition B. Exemples C. Premières propriétés III. Sous espace vectoriels A. Définition B. Propositions C. Exemples D. Propositions E. Somme de 2 sous espaces vectoriels F. Sous espaces vectoriels supplémentaires IV. Dépendance et interdépendance linéaire A. Définition B. Exemples C. Propriétés D. Théorème (admis) E. Base d’un espace vectoriel F. Dimension d’un espace vectoriel G. Dimension des sous espaces vectoriels de E Chapitre II Applications linéaires SECTION I - GENERALITES I. Généralités sur les applications linéaires A. Définition B. Proposition C. Exemples D. Remarque E. Propriétés F. Image et noyau d’une application linéaire 4 Annexes AUTRES Bibliographie 5 Chapitre I Les suites SECTION I – LES SUITES, GENERALITES I. Les suites, généralités A. Définition Soit , (ensemble) On appelle suite définie sur à valeurs réelles toute application de vers (réel) B. Notation = Ensemble des termes de la suite : Terme de rang C. Exemples - Suite définition terme à terme - Suite définie par récurrence Suite arithmétique ( 6 Suite géométrique ( ) Si ou , pour tout Si et D. Opérations sur les suites R étant muni des deux lois + et *, l’ensemble des suites définies sur A à valeurs réelles, est muni de + et * Egalité Multiplication 7 E. Suite convergentes ( (nombre entier)) Définitions : Exemple : Soit , existe-t-il tel que – ? Or Il suffit de choisir , entier, et strictement supérieur à Alors , soit II. Théorème de convergence pour les suites réelles ( ) : Sens de variation d’une suite A. Définitions 1. Sens de variations des suites : Suite à valeurs réelles  Suite croissant : Avec Suite strictement croissante : Ex :  Suite décroissante Suite strictement décroissante 0 8 Ex : 2. Borner les suites  Suite majorée : Ex :  Suite minorée Ex :  Suite bornée : majorée et minorée Ex : B. Théorème (admis) : Suite à valeurs réelles Si est croissante majorée, alors elle converge Si est désormais minorée, alors elle converge Les réciproques sont fausses C. Exemples Par récurrence : un > = 0 pour tout n appartient à N Ce qui veut dire : est minorée par 0 , d’où 9 Comme elle est minorée par 0, elle converge D. Étude de définie par , f continue Si la suite converge, sa limite est un point fixe de Preuve : f continue Application à l’exemple : Soit , f continue sur Si f est croissante, ( ) est monotone a) Si , alors ( ) est croissante Par récurrence : pour Conclusion : , b) Si est décroissante Si est décroissante, la suite se décompose en deux sous suites et monotones et de sens de variations contraires 10 1) (o = rond = image de) La croissance de entraine la monotonie des deux sous suites 2) Supposons ( ) croissante, SECTION II – SUITES RECURRENTES LINEAIRES (voir fiche) I. Généralités La variable entière est notée (temps, intervenant dans les modèles économiques) Soient Pb : recherche de la suite vérifiant : L’équation (1) s’appelle « Equation récurrente d’ordre p à coefficients constants » « Suite récurrente linéaire » 1) L’équation : est l’équation de récurrence d’ordre à coefficients constants appelée équation homogène associée à l’équation complète (1) 2) L’ensemble des solutions de (2) est parfaitement déterminé par la connaissance de p solutions indépendantes de cette équation. 3) Obtention de la solution de (1) Soit Soit 11 Donc : La solution générale de l’équation complète (1) s’obtient en ajoutant à la solution générale de l’équation homogène de (2) une solution particulière de l’équation complète (1) Remarque : la donnée de conditions initiales entraîne l’unicité de la solution de (1) 4) Equation On résout séparément : Soit Soit Conclusion : Exemple Toutes les solutions s’écrivent  Remarquons :  Remarquons : 12 Alors II. Equation récurrente d’ordre I (E.C) : Equation complète (E.H) : Equation homogène (E.C) , (1) (E.H) (2) A. Solution de (2) L’ensemble des solutions de (2) est engendré par 1 solution non nulle (p=1) On la cherche sous la forme ( ) L’équation s’appelle « équation caractéristique » associée à l’équation (1) ou (2) B. Comportement des solutions de (2) Solution d’équilibre : solution constante 0 est choisi comme solution d’équilibre si , on dit qu’il y a équilibre stable (Condition de stabilité) 13 C. Solutions particulières de (1) Où et P polynôme de degré p  Si µ n’est pas racine de On cherche sous la forme : avec  Si µ est racine de On cherche sous la forme : avec D. Exemples (2) (1) (E.H) – , S.P de (1) : D’où D’où – <-> Et – La donnée de fixe – 14 D’où Et – – (1) (E.H) – – S.P de (1), – Remarque : solution générale de l’E.H, il suffit de chercher sous la forme Ici : III. Equation récurrente d’ordre 2 (E.C) (1) (E.H) (2) A. Résolution de (2) 15 L’ensemble des solutions de (2) est engendré par deux solutions indépendantes (non proportionnelles). Ces deux solutions se cherchent sous la forme : , Est l’équation caractéristique associée à l’équation (1) – a) admet deux racines distinctes . ( ) Solution de (2) : b) , une racine double λ (2) : Solution de (2) : c) , racines complexes conjugués, La solution est : On montre alors que sont deux complexes conjugués Alors =2 parties réelles ( ), (Re = parties réelles) 16 B. Comportement des solutions de (2) Selon la nature de et (racines simples ou doubles, réelles ou complexes) la convergence de se fera de façon monotone ou non, comportant des composantes oscillatoires ou non. Equilibre stable si : Soit si | |< 1 et | |<1 C. Solutions particulières de (1) , P polynôme de On cherche sous la forme , Q polynôme  Si µ n’est pas racine de  Si µ est racine simple de  Si µ est racine double de D. Exemples 1) E.H : Conditions initiales :  2) a) (E.H) 17 b) µ=2, racine simple de ; c) 3) (E.H) SP de (1) Ici 18 D’où  4) (E.H)  Solution particulière de l’équation complète (SPEC) : (-2) non racine de (*) E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson = consommation = revenu national = investissement induit par les variations de la consommation = investissement autonome Modèle de Samuelson : ses hypothèses 19 Remarque : SP de (1) : 1 non racine de  Problème : étude de la stabilité du modèle Résolution de (2) – 1) Deux racines réelles distinctes 2) Une racine double lambda 3) Deux racines complexes conjuguées 20 Comportement des solutions de (2)  Propriété : les racines de sont de modules strictement inférieurs à 1 si et seulement si Ici Il faut donc comparer a : 1) d’une part à 2) d’autre part à Etude de g(k) pour k>0 0 1 4 + 0 - 0 1 0 21 Courbe sur photocopie donnée en cours (Voir « Le PACK ») 22 SECTION III – ESPACE VECTORIELS I. Etude de la structure de R² C’est une loi de composition interne vérifiant : ① + est commutative Pour tous couples ② + est associative Pour tous En effet : ③ + admet un élément neutre : le couple nul ④ Tout élément de admet un symétrique : le couple En effet : 23 ⑤ est un groupe commutatif Vérifiant : ① En effet : ② En effet : ③ En effet : ④ 24 En effet : II. Espace vectoriel K = R ou K=C E : Ensemble A. Définition On dit que E à une structure d’espace vectorielle sur K si sur E sont définies deux fois : 1) Une loi de composition interne 2) Une loi de composition externe Vérifiant : a) ( ) groupe commutatif b) Pour tout éléments de E, pour tout éléments de K :     B. Exemples + : Groupe commutatif Neutre 25 Symétrique de = b) l’ensemble des suites à valeurs de R Car L’ensemble uploads/Societe et culture/ macaire-zinsou-copie.pdf