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1 Chapitre 6 : Introduction à la théorie des jeux I. Introduction Dans la vie d

1 Chapitre 6 : Introduction à la théorie des jeux I. Introduction Dans la vie de tous les jours, des preneurs de décisions (hommes politiques, consommateurs, producteurs, comités d’entreprise, traders, citoyens) ont à faire un choix parmi plusieurs actions possibles. Dans un grand nombre de problèmes décisionnels, au moins quelques aspects parmi les suivants sont présents : • il y a au moins deux preneurs de décision; • il y a une interaction entre les décisions dans le sens où l’issue finale pour un des preneurs de décision dépend non seulement de l’action qu’il a choisie mais aussi des actions choisies par d’autres décideurs; • il y a un ou plusieurs éléments d’incertitude. Il est facile de citer plusieurs exemples des problèmes caractérisés par les aspects présentés ci- dessus. Pour modéliser et analyser ces problèmes, on peut utiliser ce qu’on appelle la théorie des jeux. II. Définitions Théorie des jeux - La théorie des jeux est un formalisme qui vise à étudier les interactions entre agents sachant que de telles interactions peuvent s’étendre de la coopération au conflit. - La théorie des jeux est la discipline mathématique qui étudie les situations où le sort de chaque participant dépend non seulement des décisions qu’il prend mais également des décisions prises par d’autres participants. - La théorie des jeux est un champ des mathématiques qui a pour objet d’établir et d’étudier les principes et les règles mathématiques pouvant intervenir dans l’analyse des différents types de comportement et des issues possibles lors d’une interaction stratégique entre plusieurs preneurs de décisions (appelés agents en économie et joueurs en théorie des jeux). Un des buts de la théorie des jeux est d’abord de créer des modèles mathématiques de base. Ces modèles essaient de synthétiser tous les éléments essentiels pour décrire l’interaction, puis d’introduire des concepts de solution pour décrire les issues possibles d’un jeu, et enfin, d’appliquer ces outils pour mieux comprendre les phénomènes (sociaux,..) mais aussi pour prédire les conséquences d’une interaction stratégique. 2 Un jeu : un jeu est une situation où des individus (les joueurs ) sont conduits à faire des choix parmi un certain nombre d'actions possibles, et dans un cadre défini à l'avance (les règles du jeu), le résultat de ces choix constituant une issue du jeu, à laquelle est associée un gain, positif ou négatif, pour chacun des participants. On peut cependant ajouter que les intérêts des joueurs sont souvent différents, et même opposés dans de nombreux cas, ce qui permet de considérer les jeux, ou en tout cas certains d'entre eux, comme les modèles les plus simples de situation de conflits d'intérêts. Nous avons donc un certain nombre d'éléments qui composent un jeu : - les joueurs ; - les actions et stratégies des joueurs ; - le déroulement et les étapes du jeu ; - les résultats du jeu ; - les informations dont disposent les joueurs lors de chaque choix d'action. Règles d’un jeu : Les règles d'un jeu indiquent : 1. la succession des étapes du jeu, et l'ordre dans lequel interviennent les joueurs ; 2. les actions qui sont autorisées à chaque étape ; 3. les informations dont dispose le joueur chaque fois qu'il doit prendre une décision. Stratégie : Une stratégie en théorie des jeux est un plan d'action complet spécifiant ce que le joueur fera à chaque étape de décision et face à chacune des situations pouvant survenir au cours du jeu. On dit que les actions disponibles pour chacun des joueurs sont des stratégies Une issue du jeu est une combinaison de stratégies à raison d’une stratégie par joueur. 3 Une stratégie pure est une action, ou un plan d’actions, qui est choisie par chaque joueur avec certitude. Utilité : On appelle utilité la mesure de chaque situation aux yeux de l'agent. L'utilité n'est ni une mesure du gain matériel, monétaire, etc. mais une mesure subjective du contentement de l'agent. Equilibre : L’équilibre d’un jeu est le choix par chaque agent de sa stratégie optimale. Les états dans lesquels aucun joueur ne souhaite modifier son comportement compte tenu du comportement des autres. III. Domaines d’application Chaque situation décrite ici, fait appel à un modèle, un type de comportement et une solution adéquats. Economie • dans un marché : le prix d’un bien dépend des décisions de tous les intervenants (pouvoirs public, producteurs, consommateurs) ; • en situation d’oligopole : à une demande fixée des consommateurs, ce sont les choix de tous les producteurs en compétition qui vont déterminer le prix d’un bien ; • le marchandage entre acheteur et vendeur ; • dans une enchère publique ou privée : l’issue (i.e. l’agent qui a obtenu l’objet et le prix qu’il a payé pour l’acquérir) est déterminée par les actions de tous les enchérisseurs, et aussi par le type d’enchère utilisée par l’organisateur. Science Politique et Relations Internationales • la compétition électorale entre les candidats pour les différents postes; • La compétition entre les partis politiques pour gagner les élections; • le vote législatif, le vote pour une politique extérieure ou une politique économique; • la négociation entre pays afin d’établir des accords internationaux: cessation des hostilités, traités de désarmement, accords économiques et commerciaux... Droit • La compétition entre le défendeur et la partie adverse: comment construire son dossier, à quels moments faut-il révéler un argument, quels sont les faits qu’il faut cacher et ceux qu’il faut dévoiler, comment induire l’autre partie en erreur et comment utiliser l’argument de l’autre contre lui mais aussi faire attention à ne pas utiliser un argument qui risque de se retourner contre soi... 4 • Quand une loi doit être adoptée, il faut analyser toutes les possibilités d’utilisation de cette loi et les différentes conséquences de chaque utilisation. Biologie ... IV. Classification des jeux La théorie des jeux classifie les jeux en catégories en fonction de leurs approches de résolution. Les catégories les plus ordinaires sont : Jeux à information parfaite / Jeux à information imparfaite On parle de jeu à information parfaite dans le cas de jeu sous forme extensive (voir la section suivante), où chaque joueur a une connaissance parfaite de toute l'histoire du jeu. Dans le cas contraire le jeu est dit à information imparfaite Jeux à deux joueurs / Jeux à n joueurs : Deux ou n joueurs. Un jeu est à information complète Un jeu est à information complète quand chaque joueur connaît l'ensemble des composantes du jeu, et à information incomplète sinon. Jeux coopératifs et jeux non coopératifs Dans les jeux coopératifs, on étudie la formation de coalitions entre les joueurs afin d’obtenir de meilleurs résultats pour leurs membres. Jeux simultanés et jeux séquentiels Dans un jeu simultané, les joueurs décident en même temps de leur stratégie. Au contraire, dans un jeu séquentiel, on peut spécifier l'ordre des décisions de sorte qu'un joueur peut décider de sa stratégie conditionnellement à ce qu'ont joué les autres joueurs précédemment. Jeux finis On dit qu'un jeu est fini lorsque l'ensemble des stratégies de chacun des joueurs est fini. Jeux à somme nulle et jeux à somme non nulle On appelle jeu à somme nulle ou jeu strictement compétitif, les jeux à deux joueurs dans lesquels l'intérêt de l'un des deux joueurs est strictement opposé à l'intérêt de l'autre joueur. Si les préférences des joueurs sont représentées par une fonction de gain ou une fonction d'utilité, alors la somme des deux fonctions est toujours égale à 0. Les échecs par exemple sont des jeux à somme nulle car les gains de l’un sont très exactement les pertes de l’autre. Jeux répétés 5 La répétition d’un jeu, avec connaissance des résultats intermédiaires, change souvent fondamentalement son déroulement (les meilleurs coups et la conclusion). Par exemple, il peut être utile de prendre ponctuellement le risque de perdre « pour voir », tester les autres joueurs, et mettre en place des stratégies de communication par les coups joués (à défaut d’autre moyen de communication). Il se développe également des phénomènes de réputation qui vont influencer les choix stratégiques des autres joueurs. Jeu à information complète/incomplète On dit qu'un jeu est à information complète si chaque joueur connaît lors de la prise de décision : • ses possibilités d'action • les possibilités d'action des autres joueurs • les gains résultants de ces actions • les motivations des autres joueurs Les jeux en information incomplète sont des situations où l'une des conditions n'est pas vérifiée. Ce peut être parce qu'une des motivations d'un acteur est cachée (domaine important pour l'application de la théorie des jeux à l'économie). V. Représentations des jeux Un jeu est défini par l'ensemble des joueurs, l'ensemble des stratégies possibles pour chacun des joueurs et la spécification des gains ou des utilités des joueurs pour chaque combinaison de stratégies. On a deux représentations possibles : forme normale (stratégique) et forme extensive. a. Forme normale (Stratégique) Un jeu sous forme normale (ou jeu sous forme stratégique) est uploads/Sports/ chapitre-06.pdf