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SP 03/04 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE INSTITUT DE STRUCTURES – LABO

SP 03/04 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE INSTITUT DE STRUCTURES – LABORATOIRE DE CONSTRUCTION EN BETON Dr Olivier Burdet, Assistant : S. Plumey EXERCICES 7ème SEMESTRE 2003-2004 Corrigé exercice 1: Dimensionnement des poutres à la flexion et à l’effort tranchant a) Calculer la charge de calcul qd en considérant la neige comme action prépondérante Chaque poutre porteuse supporte les charges agissant à une distance de 3 mètres (1/2 entraxe) de part et d’autre de l’axe du sommier. La charge de calcul est définie par la SIA 260 et est obtenue par la relation : ) ( 35 . 1 5 . 1 g g q qd ∆ + ⋅ + ⋅ = La charge q correspond à l’action prépondérante, la neige dans le cas considéré, alors que les charges permanentes sont composées du poids propre et du revêtement. Le poids propre de la dalle vaut : 2 3 / 5 / 25 2 . 0 m kN m kN m g = ⋅ = La charge linéaire de calcul est : ( ) ( ) m kN qd / 2 . 86 2 . 1 5 35 . 1 4 5 . 1 6 = + ⋅ + ⋅ ⋅ = b) Dessiner les diagrammes des efforts intérieurs dans la poutre et identifier les sections déterminantes Les diagrammes des efforts intérieurs représentés à la figure 1 sont obtenus en résolvant le système statique donné. Pour la vérification de la résistance à la flexion de la poutre, on distingue deux sections déterminantes correspondant au moment positif maximal et au moment négatif maximal. Le moment négatif maximal est localisé au niveau de la liaison entre la dalle et le tirant, alors que le moment positif maximal est situé dans la travée de gauche à une distance de 2.25 m de l’appui fixe à l’endoit où l’effort tranchant est nul. Les sections déterminantes pour la reprise de l’effort tranchant sont situées à proximité des appuis (appui fixe et tirant). La distance entre la section déterminante et l’appui est égale à ) cot(α ⋅ z , où α correspond à l’inclinaison des champs de compression choisie lors de l’établissement du champ de contraintes dans la zone considérée (cf point e) pour le porte-à-faux). ENAC – IS - BETON Corrigé exercice 1 2 SP 03/04 -1163.7 kN N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -194.0 kN 323.3 kN -258.7 kN V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 218.2 kNm -388.0 kNm M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fig. 1 : Efforts intérieurs dans la poutre porteuse c) Calculer les efforts intérieurs de calcul (Md, Vd et Nd) pour le porte-à-faux A droite de la liaison entre le tirant et la dalle, les efforts sont : 0 7 . 258 3 2 . 86 0 . 388 3 2 . 86 2 1 2 1 2 2 = = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ = d p d d p d d N kN l q V kNm l q M d) Dimensionner l’armature de flexion dans la section B. Le comportement est-il ductile ? La reprise du moment négatif dans la section est assurée par un couple d’efforts composés d’un effort de traction dans la dalle (armature disposée en 2 nappes, supérieure et inférieure) et d’un effort de compression dans le sommier (béton comprimé). kNm M d 0 . 388 − = − ) ' 2 ( 500 5 . 0 2 2 . 0 6 . 0 armature d nappes mm m m m d = = − = ENAC – IS - BETON Corrigé exercice 1 3 SP 03/04 On admet une répartition rectangulaire des contraintes dans la zone comprimée (stress block) et on procède par itération pour calculer la hauteur de la zone comprimée xpl. La valeur de calcul de la résistance à la compression du béton (C30/37) : 2 / 20 5 . 1 30 mm N f f c ck cd = = = γ La valeur de calcul de la limite d’écoulement de l’acier d’armature vaut (B500B) : 2 / 435 15 . 1 500 mm N f f s sk sd = = = γ 1er itération 2ème itération 3ème itération 4ème itération mm d z 450 9 . 0 = ⋅ = mm x d z pl 414 5 . 0 = − = 406 mm 404 mm kN z M N d d 2 . 862 = = 937.2 kN 955.7 kN 960.4 kN mm 72 1 85 . 0 = ⋅ = ⋅ = cd w d pl f b N x x 187 mm 191 mm 192 mm 2 2208 435 4 . 960 mm kN f N A sd d s = = = à répartir sur la largeur participante de la dalle en deux nappes. 2 nappes ! 2301 / 523 2 . 2 2 150 10 2 2 ok mm m mm m A mm s s ⇒ = ⋅ × = ⇒ = φ Pour cette disposition de l’armature, la hauteur de la zone comprimée correspondant à l’écoulement des 2 nappes d’armature : ! 250 2 / 236 250 20 85 . 0 435 2301 85 . 0 85 . 0 ok mm d mm b f f A x x w cd sd s pl ⇒ = ≤ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = La section est ductile ! e) Dimensionner l’armature d’effort tranchant à disposer dans le porte-à-faux et vérifier la résistance des bielles comprimées Le dimensionnement du porte-à-faux peut être effectué sur la base du champ de contraintes présenté à la figure 2. La figure 2.b montre le treillis de remplacement correspondant au champ de contraintes (résultantes). L’angle α entre l’armature longitudinale et les champs de compression doit être dans les limites suivantes : ° ≤ ≤ ° 45 25 α Un angle de ° = 45 α a été choisi pour construire le champ de contraintes. Effort tranchant dans la section déterminante, située à α cot ⋅ z de l’appui : kN z l q V p d d 8 . 223 ) 404 . 0 3 ( 2 . 86 ) cot ( = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = α ENAC – IS - BETON Corrigé exercice 1 4 SP 03/04 En isolant le sous-système 1 dans le champ de contraintes (cf fig. 2.c), il est possible de calculer directement l’effort que doivent reprendre les étriers. Fig.2 : Champ de contraintes (a), treillis de remplacement (b), sous-système 1 (c) et sous-système (2) Rem : il faudrait normalement tenir compte de la configuration réelle de la liaison dalle- tirant. a) b) c) d) ENAC – IS - BETON Corrigé exercice 1 5 SP 03/04 m mm z f z M V s A z M V f s z A V sd d d sw d d sd sw ef d / 740 1 404 435 1 3 3 . 0 404 . 0 380 8 . 223 cot 1 tan tan cot 2 , = ⋅ ⋅ ⋅       ⋅ − = ⋅ ⋅       ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ = α δ δ α ! 157 10 111 150 2 2 ok mm étrier mm A mm s Pour sw = ⇒ = ⇒ = φ La bielle comprimée nécessaire à la reprise du moment de flexion a une composante verticale compte tenu de la géométrie du porte-à-faux. Celle-ci permet de reprendre une partie de l’effort tranchant et soulage ainsi les étriers. Dans les poutres, il est nécessaire de disposer une armature d’effort tranchant de 0.2% pour assurer un comportement ductile (art. 5.5.2.2 SIA 262). ! ) 8 ( 75 150 250 % 2 . 0 % 2 . 0 2 min , ok A mm s b A sw sw ⇒ < = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = φ En isolant le sous-sytème 2 dans le treillis de remplacement, on obtient l’effort et la contrainte dans la bielle la plus sollicitée. 2 , / 6 . 2 2 2 2 2 404 250 1 3 3 . 0 404 . 0 380 8 . 223 sin cos 1 tan sin cos tan mm N z b z M V z b z M V V d d c c d d ef d = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅       ⋅ − ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅       ⋅ − = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − = α α δ σ α α σ δ ! / 12 20 6 . 0 2 ok mm N f k cd c c ⇒ = ⋅ = ⋅ < σ Le coefficient kc tient compte d’une réduction de la résistance à la compression du béton dans un champ de compression avec armatures en biais uploads/Voyage/ corrige-exo-1.pdf