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REPUBLIQUE DU BENIN MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE D'ABOMEY CALAVI ECOLE POLYTECHNIQUE D’ABOMEY CALAVI (EPAC) COURS : TECHNIQUES D’OPTIMISATION Cours présenté et animé par : ZINSALO Joël M. Enseignant-Chercheur à l’EPAC Année Académique : 2012 - 2013 Techniques d’Optimisation Enseignant : ZINSALO Joël M./EPAC - UAC Page 2 Objectifs spécifiques Connaître et comprendre les principales techniques d'optimisation et maîtriser leur application à des problèmes de génie. Contenu Problèmes d’optimisation – Définitions – Types d’optimisation Programmation linéaire – Méthode du simplexe – Dualité - Méthode des pénalités Optimisation sans contrainte : Notion de point critique – Condition nécessaire et suffisante d’optimalité Optimisation avec contrainte – Multiplicateurs de Lagrange Programmation géométrique Mode d’évaluation 1 contrôle continu et 1 examen terminal Bibliographie • Optimisation Appliquée : Yadolah Dodge, Sylvie Gonano-Weber et Jean-Pierre Renfer, Springer-Verlag France, 2005, 343 pages. • Méthodes d'optimisation combinatoire, J. Frédéric Bonnans, Jean Charles Gilbert, Claudes Lemaréchal, Claudia Sagastizabal, Masson, Paris, 1996 • Recherche opérationnelle - Tome 1, Méthode d'optimisation, Jacques Teghem, Editeur : Ellipses Marketing, 2012, 624 pages. • Recherche opérationnelle, Méthodes d'optimisation en gestion, Jean-Claude Moisdon , Michel Nakhla, Editeur : Presses des Mines -Transvalor, 2012, 344 pages. Techniques d’Optimisation Enseignant : ZINSALO Joël M./EPAC - UAC Page 3 CHAPITRE 1 : GENERALITES SUR LES TECHNIQUES D’OPTIMISATION EN INGENIERIE 1. Définitions L'optimisation est une branche des mathématiques, cherchant à analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les problèmes qui consistent à déterminer le meilleur élément d'un ensemble, au sens d'un critère quantitatif donné. Ce mot vient du latin optimum qui signifie le meilleur. L’optimisation joue un rôle important en ingénierie quel que soit le domaine. Aujourd'hui, tous les systèmes susceptibles d’être décrits par un modèle mathématique sont optimisés. La qualité des résultats et des prédictions dépend de la pertinence du modèle, de l’efficacité de l’algorithme et des moyens pour le traitement numérique. L’optimisation des systèmes en ingénierie (Génie civil, Génie Mécanique et Energétique, Génie Chimique, Génie Informatique et Télécommunication, Génie Electrique, etc.) permet de trouver une configuration idéale, d’obtenir un gain d’effort, de temps, d’argent, d’énergie, de matière première, ou encore de satisfaction. L’optimisation est le processus de trouver les conditions que doit satisfaire le maximum ou le minimum d’une fonction. L’optimisation est souvent attribuée aux ingénieurs. Souvent un dimensionnement est difficile à optimiser à cause de sa complexité. Dans ce cas, il est convenable d’optimiser les sous-systèmes et de choisir la combinaison optimale de ces sous-systèmes. 2. Représentation mathématique d’un problème d’optimisation 2.1. Fonction objectif La résolution d’un problème d’optimisation suppose en préalable, la connaissance formelle d’une fonction objectif, appelée parfois fonction-coût qui est exprimée par une fonction y telle que : Techniques d’Optimisation Enseignant : ZINSALO Joël M./EPAC - UAC Page 4 = , , ⋯⋯, 1 Cette fonction est exprimée à partir d’un vecteur , faisant intervenir n variables. L’optimum recherché est soit un maximum noté soit un minimum noté . Mais la résolution du problème se résume en fait à la recherche d’un extrémum, car il y a formellement identité entre les deux problèmes. En effet, on montre facilement que : , , ⋯⋯, = −, , ⋯⋯, 2 Par ailleurs, l’adjonction d’une constante à la fonction objectif n’affecte pas le point correspondant à l’optimum. On distingue deux cas de figures possibles qui sont : • optimisation sans contrainte ; • optimisation avec contrainte. 2.2. Optimisation sans contrainte Les n variables précédentes sont des variables indépendantes. Alors l’optimisation entreprise est une optimisation sans contrainte. Ce problème est plus simple que le suivant. 2.3. Optimisation avec contrainte Dans ce cas, les variables mises en œuvre ne sont pas indépendantes et les liaisons qui existent entre celles-ci peuvent se traduire par deux types de contraintes qui sont : - contraintes égalités - contraintes inégalités. 2.3.1. Contraintes égalités Ces contraintes sont mises sous la forme d’un ensemble de m fonctions égales chacune à zéro : Techniques d’Optimisation Enseignant : ZINSALO Joël M./EPAC - UAC Page 5 = , , … … , = 0 3 Pour que le problème posé puisse admettre une solution, il faut nécessairement que le nombre de contraintes m soit inférieur au nombre de variables n. Dans le cas limite où = , le système est indéterminé ; son point d’état étant fixé, la recherche d’un optimum n’a aucun sens. De même, si m>n, le problème est mal posé. 2.3.2. Contraintes inégalités Ces contraintes s’expriment sous la forme : = , , … … , ≦ 4 représente le vecteur des constantes du second membre de (4). Dans la majorité des problèmes posés, ces contraintes apparaissent et traduisent des limitations physiques ou technologiques apparaissant dans le système. Citons par exemple : des seuils de température supérieur ou inférieur, des contraintes mécaniques maximales, des vitesses de rotation maximales, des limitations en puissance, des seuils de débit, des durées de vie, etc… 3. Techniques d’optimisation Ce catalogue non exhaustif a pour but de donner les grandes familles de techniques qui sont développées dans la littérature, ainsi que leur caractérisation succincte. Les techniques d’optimisation sont classées comme suit : Techniques d’Optimisation Enseignant : ZINSALO Joël M./EPAC - UAC Page 6 3.1. Calcul des variations – multiplicateurs de Lagrange et méthodes dérivées (équations d’Euler, Hamilton, Jacobi). Ces méthodes fonctionnent avec des contraintes de type égalité. Elles nécessitent le calcul des dérivées partielles de la fonction objectif et des contraintes. 3.2. Méthodes de recherche Ces méthodes parfois appelées méthodes d’exploration directe se satisfont de l’examen en des points discrets de la fonction objectif. Elles sont adaptées lorsque les composants sont connus de façon discrète. Parmi ces méthodes, on peut citer : les méthodes d’énumération, les méthodes d’exploration au hasard, les méthodes dérivées de l’exploration à une seule variable, en particulier la méthode de Fibonacci, les méthodes de simplex, les méthodes d’exploration par alternance de variables, les méthodes de Hookes-Jeeves, de Powell, etc... 3.3. Programmation linéaire C’est la méthode la plus employée surtout pour les grands systèmes, mais cette méthode nécessite une fonction objectif et des contraintes linéaires. 3.4. Programmation géométrique Probablement c’est l’une des méthodes les plus récentes. La fonction objectif associée doit être un polynôme où les variables apparaissent avec des exposants entiers ou non (il est à remarquer que ce cas est courant dans les ajustements de fonction). 3.5. Programmation dynamique Cette technique encore appelée optimisation dynamique a été développée par Bellman. Elle permet de déterminer une fonction optimale, plus qu’un point d’état optimum. On obtient alors la trajectoire optimale sous forme d’une fonction reliant plusieurs variables d’état. Techniques d’Optimisation Enseignant : ZINSALO Joël M./EPAC - UAC Page 7 Cette méthode n’est pas sans lien avec le calcul des variations ; la programmation dynamique procède toutefois par une série de processus discrets, alors que le calcul des variations donne un résultat continu. 4. Mise en forme d’un problème d’optimisation La mise en forme d’un problème d’optimisation est sans doute la partie la plus délicate de l’optimisation. Dans ce qui suit, les principales étapes vont être énumérées pour être suivies dans la résolution d’un problème. 4.1. Enumération des étapes On peut citer dans l’ordre chronologique des actions à mener pour l’optimisation d’un système ou d’un procédé : choix de la configuration du système, explication des variables, spécification des caractéristiques des composants et des fluides, écriture des équations de bilans relatives aux entrées et sorties, choix du critère d’optimisation et de recherche de la fonction objectif, contraintes diverses liées au modèle mis en œuvre, aux équations de liaisons entre composants, aux conditions mathématiques d’existence et toute autre contrainte souhaitée. (Ces deux dernières phases sont souvent difficiles). élimination de variables d’état et de contraintes égalité par la méthode de substitution lorsque cette élimination est possible (réduction des équations de contrainte), choix de la méthode d’optimisation, si la technique le nécessite, recherche d’un vecteur d’état initial relatif aux variables indépendantes. Techniques d’Optimisation Enseignant : ZINSALO Joël M./EPAC - UAC Page 8 4.2. Analyse des résultats Un ingénieur ou un chercheur ne doit pas faire une confiance aveugle à l’espérance mathématique. Il doit toujours examiner la solution obtenue pour le problème à la lumière de son expérience et de son sens pratique ou physique, pour voir si la solution obtenue est raisonnablement acceptable. 5. Informatique et optimisation L’objectif de ce cours est surtout de permettre à l’utilisateur d’écrire un programme principal qui appellera un sous-programme d’optimisation existant ou d’utiliser un logiciel existant plus que la création d’un algorithme d’optimisation. Aussi, quel que soit le mode d’utilisation des moyens informatiques (en mode différé ou en mode interactif), le concepteur du programme ou du logiciel doit-il soigneusement commenter son travail et même s’investir dans la rédaction d’un manuel d’utilisation. Pour ce manuel, la forme suivante est préconisée: • une introduction décrivant le but du programme, • la construction du schéma général du système ou du procédé et la définition des variables, • uploads/Voyage/ joel-metogbe-zinsalo.pdf
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- Publié le Sep 17, 2021
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