Exercices pour les vacances 1 Bonjour et félicitations pour votre admission en
Exercices pour les vacances 1 Bonjour et félicitations pour votre admission en MPSI au lycée Foch. Afin de démarrer au mieux les mathématiques en CPGE, je vous recommande de réviser les cours de terminale : tous les chapitres seront utiles pour la MPSI et la MP. Profitez des vacances pour mieux apprendre les chapitres que vous n’avez pas bien compris. Cela vous permettra de commencer l’année dans de bonnes dispositions. Voici les chapitres qui doivent être travaillés en priorité : • les chapitres des années antérieures concernant le calcul algébrique (développement, factorisation, identités remarquables, calculs avec des puissances...). Le calcul algébrique sera utilisé tout au long de l’année. • Les chapitres sur les fonctions : continuité, dérivation, limites de fonctions, calcul intégral, fonctions usuelles (logarithme, exponentielle, cosinus et sinus). Ils seront utilisés tout au long de l’année. De plus, nous développerons la continuité et la dérivation au premier semestre et le calcul intégral au deuxième semestre. • Les chapitres sur les suites de première et de terminale car nous développerons ce thème au premier semestre. • Le chapitre de probabilité de terminale. Il sera développé eu deuxième semestre. Le chapitre “Concentration, loi des grands nombres" ne sera traité qu’en MP. Des chapitres de l’option “mathématiques expertes" seront aussi revus et développés. Je conseille aux personnes qui ont pris cette option de réviser ces chapitres. Pour les personnes qui n’ont pas pris cette option : ne vous inquiétez pas, tout sera revu en MPSI. Cependant, pour prendre un peu d’avance, je vous conseille de regarder les chapitres suivants : • Le chapitre sur les nombres complexes. Ce chapitre sera vu au début de l’année car il sera rapidement utilisé en physique. Le programme de MPSI sur les nombres complexe est très proche de celui de l’option “mathématiques expertes" mais il sera fait en une semaine. C’est pourquoi il est préférable de le (re)voir pendant les vacances. • Le chapitre d’arithmétique. Comme le chapitre sur les complexes, le programme en MPSI est proche de celui de l’option “mathématiques expertes" mais il sera fait en une semaine. • Le chapitre sur les matrices. Il sera revu et développé au deuxième semestre. Les personnes qui n’ont pas pris l’option “mathématiques expertes" peuvent se passer de ce chapitre. Inutile de découvrir trop de nouvelles notions pendant l’été. Cependant, la plus grande priorité est de renforcer votre niveau de calcul. Vous devez être capables de faire des calculs de manière efficace. Cette aisance se développe par l’entraînement. Voici donc une liste d’exercices de calculs à faire avant la rentrée. Essayer de répartir la résolution de ces exercices et vos révisions sur plusieurs semaines. Si certaines questions vous posent problème, ne vous inquiétez pas, l’important est d’essayer et de s’exercer. Je vous enverrai le corrigé fin août pour que vous puissiez vérifier vos résultats et comprendre les questions que vous n’avez pas réussies. L’année va être longue et intense. Profitez aussi de ces vacances d’été pour vous détendre et décompresser. Je serai heureux de faire votre connaissance et de vous accompagner durant votre MPSI à Rodez. Je vous souhaite de bonnes vacances. Baptiste Broto MPSI - Lycée Ferdinand Foch, Rodez 2021-2022 Exercices pour les vacances 2 1 Exercices de seconde et première Exercice 1 Mettre sous forme d’une fraction irréductible : a) 3 5 + 7 15 b) 1 3 −1 2 5 6 + 1 3 c) (1 −1 4) × (1 4 + 1) d) 1 1 + 1 1 + 1 2 Exercice 2 Développer et simplifier : a) (3x2 −2)(2x3 −2x + 1) b) (3x + 4y)2 c) (3x2 −2x −3)(−4x3 −x2 + 1) d) (x −1)(xn + xn−1 + · · · + x + 1) Exercice 3 Factoriser : a) 4x + 8x2 + 2xy b) 9 + 6x + x2 c) (2x + 1)2 + (3x −2)(2x + 1) d) −10x + 25x2 + 4 e) 50 −8x2 Exercice 4 Simplifier sous une seule fraction : a) 2 x + 1 + 1 x(x + 1) b) −1 + 1 x(1 −x2) − 2 1 −x2 c) 2 x + 1 + 1 x(x + 1) d) x + 1 1 −x 2 − 2x (1 −x)(x2 −x) + 2 1 −x Exercice 5 Ecrire aussi simplement que possible (en particulier en ayant un dénominateur entier) : a) 3 √ 2 b) 3 √ 8 c) 17 √ 50 d) 1 2 + √ 5 e) 2 − √ 3 1 + √ 3 f) √ 2 − √ 5 √ 10 − √ 3 g) q (1 − √ 3)2 h) √ x2, où x ∈R Exercice 6 Simplifier : a) 2−3 × 163 84 b) 274 35 × 9−2 2 c) an2 an d) (an)n −an2 e) 32 × 8n−1 22n+2 −4n f) 5n × 122n 10n × 64n Exercice 7 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes en donnant l’ensemble des solutions S : a) 1 2x −1 = 2 b) 7(2x + 4) −8x = 15x + 1 c) 3(2 −4x) = 4(x −1) + 2 d) (2x + 3)(x −1) = 4 −x(3 −2x) e) 4z2 + 12z + 9 = (2z + 1)2 + 8z f) −3x + 1 > 2 g) 3x + 1 < −2x + 2 h) x + 1 ≥−1 2x −3 i) (2x + 1)2 −x2 −3 < (x + 2)(x −2) + 2x(x + 2) j) (2x −1)2 + 5x < 4x2 + x + 7 Exercice 8 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes en donnant l’ensemble des solutions S : a) −x2 −x + 2 = 0 b) x2 −6x + 9 = 0 c) 3x2 −2x = −7 d) 2x2 −x −3 ≥0 e) 2x2 −x < 1 f) x2 −5x < −1 g) x 3 + 3 x = 5 2 MPSI - Lycée Ferdinand Foch, Rodez 2021-2022 Exercices pour les vacances 3 2 Exercices de première et terminale Exercice 9 Calculer en fonction de ln 2, ln 3 et ln 5 : a) ln 81 4 b) ln 225 162 c) ln 1024 d) ln 0, 002 e) ln 1 2 + ln 2 3 + · · · + ln 98 99 + ln 99 100 Exercice 10 Simplifier : a) e2x × e1−2x b) e−2x −e2x + 1 e2x c) e2 ln 3 d) e−ln 5+2 ln 7 e) ln e−ln 3 f) ln e5 √ e3 g) ln p e 1 2 ln 3 Exercice 11 Calculer les limites suivantes (en justifiant) : a) lim x→+∞ −3x2 + x −6 x2 + 1 b) lim x→−∞ x3 −x2 + 1 5x2 −x + 2 c) lim x→+∞ 1 −3x 5x2 −x + 2 d) lim x→+∞ √ x2 −1 + x e) lim x→−∞ √ x2 −1 + x f) lim x→−∞ √ x2 −x + x Exercice 12 Déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble de dériva- bilité et la dérivée des fonctions f définies par : a) f(x) = 1 x b) f(x) = −2 x2 c) f(x) = 1 (2 −3x)2 d) f(x) = 2x 2 + x e) f(x) = −2 (2 + x2)3 f) f(x) = ln x 4 g) f(x) = x4 cos x h) f(x) = sin x x2 + 1 i) f(x) = 1 √x j) f(x) = sin(x4) k) f(x) = e2x + x sin x l) f(x) = e3x2−4x+1 Exercice 13 Donner une primitive des fonctions f définies par : a) f(x) = x4 −5x2 + 7 3x + 2 b) f(x) = −sin x + 2 cos x c) f(x) = 2x −4 + e3x d) f(x) = sin(3x)ecos 3x e) f(x) = −3 x où f est définie sur R∗ + f) f(x) = −3 x où f est définie sur R∗ − g) f(x) = − 3x2 2x3 + 1 Exercice 14 Déterminer les intégrales suivantes : a) Z 1 0 x2(x3 −1)5dx b) Z 1 0 x x2 −4dx c) Z 1 2 0 3x √ 1 −x2 dx d) Z 2 1 t ln t dt e) Z 4 1 ln t √ t dt f) Z e 1 tn ln t dt, où n ∈N g) Z 1 0 (2t + 1)e−2tdt MPSI - Lycée Ferdinand Foch, Rodez 2021-2022 Exercices pour les vacances 4 3 Correction des exercices Solution Exercice 1 a) 3 5 + 7 15 = 9 + 7 15 = 16 15 b) 1 3 −1 2 5 6 + 1 3 = 2 −3 5 + 2 = −1 7 c) (1 −1 4) × (1 4 + 1) = 3 4 × 5 4 = 15 16 d) 1 1 + 1 1 + 1 2 = 1 1 + 1 3 2 = 1 1 + 2 3 = 1 5 3 = 3 5 Solution Exercice 2 a) (3x2 −2)(2x3 −2x + 1) = 6x5 −6x3 + 3x2 −4x3 + 4x −2 = 6x5 −10x3 + 3x2 + 4x −2 b) (3x + 4y)2 uploads/Voyage/ mpsi-vacances-exos-correction.pdf
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Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jui 27, 2022
- Catégorie Travel / Voayage
- Langue French
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