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REVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE ALAIN DESROCHES MARCEL NEFF Introduction de la l

REVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE ALAIN DESROCHES MARCEL NEFF Introduction de la loi de probabilité du coefﬁcient de variation dans les applications de la méthode résistance-contrainte Revue de statistique appliquée, tome 31, no 3 (1983), p. 17-26 <http://www.numdam.org/item?id=RSA_1983__31_3_17_0> © Société française de statistique, 1983, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Revue de statistique appliquée » (http://www. sfds.asso.fr/publicat/rsa.htm) implique l’accord avec les conditions générales d’uti- lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im- pression de ce ﬁchier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 17 INTRODUCTION DE LA LOI DE PROBABILITE DU COEFFICIENT DE VARIATION DANS LES APPLICATIONS DE LA METHODE RESISTANCE - CONTRAINTE Alain DESROCHES CNES CG/QS/EP 97310 KOUROU (Guyanne) Marcel NEFF SGTE 33, quai de Dion Bouton, 92806 PUTEA UX Cedex RESUME Après quelques rappels sur la méthode résistance-contrainte, on étudie la sensibilité de la probabilité de rupture vis-à-vis du coefficient de variation y. Puis les auteurs développent la méthode de construction de la loi de probabilité du coefficient de variation et présentent des abaques desquantiles 03B31-03B1, valeurs du coefficient de variation ayant la probabilité et d’être dépassées. ABSTRACT After recalling the essentials of the stress-strength method, the paper studies the sen- sitivity of the fracture probability to the coefficient of variation y. The authors then develop the method for determining the probability law of the coefficient of variation, and give charts for the quantiles ’Y 1- et’ values of 7 which have a probability a of being exceeded. SOMMAIRE 1. Quelques rappels sur la méthode résistance-contrainte 1.1. Cas général 1.2. Cas particulier : R et C gaussiennes 1.3. Construction d’un abaque dans le cas gaussien 2. Recherche de la loi de probabilité du coefficient de variation 2.1. Introduction 2.2. Exemple 2.3. Construction d’abaques relatifs aux risques Q = 0,25 ; 0,10 ; 0,05 ; 0,01 3. Introduction de ’Y 1- a dans les applications de la méthode résistance-contrainte 3.1. Introduction 3.2. Exemple 4. Bibliographie 5. Annexe Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXXI, n° 3 Mots-Clés : Coefficient de variation - Résistance. Contrainte. 18 1. QUELQUES RAPPELS SUR LA METHODE RESISTANCE-CONTRAINTE 1.1. Cas général Soit R la variable aléatoire décrivant la résistance de l’équipement ê à la contrainte C qui est elle-même une variable aléatoire. La défaillance de 9, correspond à l’événement R C dont la probabilité s’écrit : Si f et g sont respectivement les densités de probabilité de R et C et F et G, leur fonction de répartition, on sait alors que : - d’une part, la densité de probabilité h de la variable Z = R - C est égale au produit de convolution des densités f et g, c’est-à-dire f * g, - d’autre part, la fonction de répartition H de la variable Z s’obtient en calculant l’une des intégrales suivantes : ou Dans la pratique, ce calcul est fastidieux et on s’arrange dans la mesure du possible à n’utiliser que des distributions stables par addition (loi normale, PEARSON III) ou par multiplication (loi de GALTON). 1.2. Cas particulier : R et C gaussiennes 1.2.1. Introduction Si R et C sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes, on peut écrire : La stabilité additive permet de conclure que la variable Z = R - C est elle- même gaussienne, d’où : avec : et : Par suite, on peut écrire : d’où : où yz - 03C3Z/03BCZ est le coefficient de variation de la variable Z. Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXXI, n° 3 19 En revenant aux variables R et C, l’expression (1.1) devient : où : kRC = JlR/JlC est le coefficient de sécurité de R par rapport à C, est un pseudo-coefficient de variation. Si la contrainte est déterministe (c’est-à-dire a c = 0) alors : Ainsi la probabilité de défaillance est entièrement définie par les paramètres kRC et 03B3RC à travers la relation : où 1> est la fonction de répartition de la variable gaussienne centrée réduite. 1.2.2. Variation de la probabilité de défaillance en fonction de kRC et 7RC A partir de la relation (1.2), on calcule les dérivées partielles par rapport à kRC et à 1RC : où ~ est la dérivée de 03A6 donc la densité de probabilité de la variable normale centrée réduite. Puisque ~ et 03B3RC sont positifs, il en résulte que ~03A6/~kRC est négative quel que soit kRC * Par suite, la probabilité de défaillance est fonction décroissante de arc « or (1/kRC) - 1 est négatif quel que soit kRC supérieur à 1, d’où a4>/a’YRC est posi- tive quel que soit 03B3RC. Par suite, la probabilité de défaillance est fonction croissante de 7roc . Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXXI, n° 3 20 c) Enfin la différentielle totale de la probabilité de défaillance p s’écrit : avec : Cette formule permet de calculer la variation dp de la probabilité de défail- lance p pour des variations en pourcentages dkRC/kRC et dYRC/’YRC des coeffi- cients de sécurité et de variation. d) A partir de (1.2), on tire la relation : OÙ 4>-1 (p) = up est la quantile d’ordre p de la variable normale centrée réduite. Si dans cette expression, on fait tendre le coefficient de sécurité kRC vers l’infmi, la valeur de 1RC tend vers - 1/up par valeurs inférieures (up 0 pour kRC > 1). Ceci implique que pour p fixée l’intervalle de définition de 1R C est [0 ; - l/up[. Par exemple, pour p = 10-4, on obtient up = 1>-1 (10-4) = 3,7191. D’où l’intervalle de définition du pseudo-coefficient de variation s’écrit : Inversement, si l’on se fixe un coefficient de variation, on peut lui associer la probabilité minimale de défaillance, à savoir p = 03A6(2013 l/7Rc)’ Cette proba- bilité serait obtenue pour un coefficient de sécurité infini. Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXXI, n° 3 21 Par exemple, si l’on se donne 1RC = 0,50, la probabilité minimale de dé- faillance s’écrit : En termes clairs, on ne pourra jamais démontrer (ou obtenir) une proba- bilité de défaillance inférieure à 0,023 quelle que soit la valeur du coefficient de sécurité retenu. 1.3. Construction d’un abaque dans le cas gaussien A partir de la relation (1.6) définissant la valeur du coefficient de variation en fonction du coefficient de sécurité, pour p fixée, on construit l’abaque de la figure 1. Figure. 1 - Probabilité de défaillance en fonction du coefficient de sécurité kRC et du coefficient de variation arc (cas de deux lois normales) Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXXI, n" 3 22 Cet abaque permet d’avoir des ordres de grandeur de p pour 1RC et kRC fixés. Pour des valeurs plus précises, il est nécessaire d’utiliser la formule (1.2). 2. RECHERCHE DE LA LOI DE PROBABILITE DU COEFFICIENT DE VARIATION 2.1. Introduction Soit X~M(03BC,o) une variable aléatoire gaussienne associée aux n-échan- tillons e = (xl , ... , xu) de moyenne X et d’écart type sx. On peut construire une statistique (D (r) associée à e par l’intermédiaire d’une combinaison de X et sx faisant_apparaître explicitement le coefficient de variation empirique, à savoir CV = sx /X. Cette statistique, elle-même variable aléatoire d’échantillonnage, permet alors d’exprimer le coefficient de variation (considéré alors comme une variable aléatoire r) en fonction de Il et a et des lois de probabilité associées à X et sx : or : et : par suite : Cette statistique a une distribution de STUDENT décentrée à v = n - 1 degrés de liberté et à un décentrement b = n/03B3 ; d’où : Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXXI, n° 3 23 soit : Par suite, le coefficient de variation calculé à partir d’un n-échantillonnage gaussien est distribué suivant l’inverse d’une loi de STUDENT décentrée au coef- ficient vn près. Ainsi, pour un seuil de risque a, on peut poser : où ’Y 1- Q est le quantile de la variable aléatoire F qui a un risque a d’être dépassé. Or: d’où: soit : Le calcul de ’Y 1 - Q nécessite donc la connaissance du quantile t’03B1 de la variable de STUDENT décentrée dans laquelle intervient explicitement le coeffi- cient de variation y de la variable X. Remarque : Dans les applications, on prend pour estimateur i de y le coefficient de varia- tion, à savoir CV = sX/X. 2.2. Exemple Soit un échantillon de taille 3 tiré d’une population gaussienne à partir duquel a été calculé un estimateur y = 0,33 du coefficient de variation relatif à la popula- tion. Pour un niveau de confiance 1 - a = 0,75, on détermine dans une table de la loi de STUDENT décentrée la valeur : qui permet de déduire le quantile 03B30,75 de la variable r d’échantillonnage : Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXX 1, n° 3 24 2.3. Construction d’abaques relatifs aux risques a = 0,25 ; 0,10 ; 0,05 ; 0,01 A partir de la relation (2.2), on peut uploads/Voyage/ rsa-1983-31-3-17-0.pdf