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S5DA ♣TD3 : les lois de probabilité usuelles ♣ 2017–2018 Exercice 1 Une machine

S5DA ♣TD3 : les lois de probabilité usuelles ♣ 2017–2018 Exercice 1 Une machine à embouteiller peut tomber en panne. La probabilité d’une panne à chaque emploi est de 0,01. La machine doit être utilisée 100 fois. Soit X,le nombre de pannes obtenues après 100 utilisations. 1. Quelle est la loi de X ? Calculer P(X = 0); P(X = 1); P(X ⩾4). 2. On estime le coût d’une réparation à 500 F. Soit Y, la dépense pour les réparations après 100 util- isations. Exprimer Y en fonction de X et calculer E(Y ), V (Y ). Exercice 2 Lors d’un sondage portant sur un grand nombre de personnes, on sait que 2% des personnes in- terrogées acceptent de ne pas rester anonymes. Sachant que l’un des sondeurs a interrogé 250 personnes (en les choisissant de manière indépendante), calculer la prob- abilité 1. que ces 250 personnes souhaitent rester anonymes. 2. personnes acceptent de ne pas rester anonymes. 3. plus de 10 personnes acceptent de ne pas rester anonymes. Exercice 3 On admet que la probabilité qu’un voyageur oublie ses bagages dans le train est 0,005. Un train transporte 850 voyageurs. On admettra que ces voyageurs se sont regroupés au hasard et que leurs com- portement, par rapport à leurs bagages, sont indépen- dants les uns des autres. On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de voyageurs ayant oublié leurs bagages dans le train. 1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléa- toire X ? Calculer son espérance mathématique et sa variance. 2. Donner, en justiﬁant la réponse, une loi de proba- bilité permettant d’approcher la loi trouvée à la question précédente. En utilisant cette loi ap- prochée, calculer une valeur approchée de la prob- abilité des événements suivants : a) aucun voyageur n’a oublié ses bagages, b) cinq voyageurs au moins ont oublié leurs bagages Exercice 4 Dans un magasin, on se propose de mettre un contrôleur aﬁn de détecter les vols éventuels. La proportion de fraudeurs est une variable aléatoire dont des observations antérieures avaient permis d’établir la loi empirique suivante : Fraudeurs (pour 1000 clients) Probabilité 2 0.4 3 0.5 4 0.1 1. Une nouvelle observation portant sur 500 clients ayant permis de détecter 2 fraudeurs, comment sont modiﬁées les probabilités précédentes par cette nouvelle information (appliquer le théorème de Bayes). 2. Si on engage une personne qui contrôle au hasard 200 personnes par jour, quelle est la loi de proba- bilité du nombre de fraudeurs parmi les 200 clients ? 3. Si le montant moyen d’une fraude est de 6000 F et si le contrôleur est payé 70000 F par mois (+40% de charges sociales) cette embauche vous paraît- elle rentable ? Exercice 5 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [−5; 15]. 1. Calculer P(X ⩽ 2), P(−1 ⩽ X ⩽ 1) et P(X⩾0)(−1 ⩽X ⩽2). 2. Soit Y la variable aléatoire égale à X + 5 10 . Calculer P(X⩽10)(Y ⩾0). Exercice 6 On choisit un nombre au hasard entre -3 et 5. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 1? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre supérieur ou égal à 3? 3. Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit strictement inférieur à 1 , sachant qu’il est stricte- ment positif ? Exercice 7 Les résultats suivants doivent être connus, ils donnent une idée de la répartition, autour de son espérance µ, d’une variable aléatoire X qui suit une loi normale N(µ, σ2). Interpréter et montrer que : 1. P(µ −σ ⩽X ⩽µ + σ) ≃0, 68 à 10−2 près. 2. P(µ −2σ ⩽X ⩽µ + 2σ) ≃0, 95 à 10−2 près. 3. P(µ −3σ ⩽X ⩽µ + 3σ) ≃0, 997 à 10−2 près. Exercice 8 En 1955, Wechler a proposé de mesurer le QI (Quotient Intellectuel) des adultes grâce à deux échelles permettant de mesurer les compétences ver- bales et les compétences non verbales. On compare le score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenu par un échantillon représentatif de la population d’un âge donné, dont les performances suiv- ent une loi normale ayant pour moyenne 100 et pour écart-type 15. 1. Quel est le pourcentage de personnes dont le QI est inférieur à 80? 2. Quelle chance a-t-on d’obtenir a) un QI compris entre 100 et 110 ? b) un QI compris entre 90 et 100 ? c) un QI compris entre 105 et 110 ? 3. Un patient obtenant un score de 69 fait-il partie des 5% inférieur de la distribution ? 4. En dessous de quel QI se trouve le tiers des indi- vidus ? 5. Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d’individus les plus performants ? Fondation 2iE 1 Dr Zorom c ⃝2018 S5DA ♣TD3 : les lois de probabilité usuelles ♣ 2017–2018 Exercice 9 La durée de vie d’une certaine com- posante électronique est distribuée normalement avec une moyenne 2000 heures et un écart type 250 heures. Le fabriquant oﬀre une période de garantie de 75 jours. Chaque pièce retournée engendre une perte de 20$ et chaque pièce non retournée engendre un gain de 20$. 1. Quelle est la proportion de composantes re- tournées? 2. Quel est le gain espéré par pièce? 3. Quelle doit être la période de garantie du fabri- quant s’il veut au maximum 5% de retour et quel est le gain espéré dans ce cas? Exercice 10 Les temps que les clients passent à un comptoir de service sont des variables aléatoires in- dépendantes de moyenne 1,5 minutes et d’écart type 1 minute. a) Quelle est la probabilité que le temps total que passent 100 clients à ce comptoir soit inférieure à 2 heures 40 minutes? b) Quel est le nombre maximal n de personnes tel que la probabilité qu’ils passent moins de 2 heures 40 minutes au comptoir soit d’au moins 90%? Exercice 11 Une ﬁrme conﬁrme que la probabilité qu’une ampoule claque au premier allumage est de 0.01. On suppose que la durée de vie des ampoules suit une loi de Poisson. si on prend un échantillon de 100 ampoules au hasard , quelle est la probabilité d’avoir : 1. aucun claquage d’ampoules. 2. un claquage parmi les 100 ampoules. 3. plus de deux claquages parmi ces 100 ampoules. Exercice 12 La distribution d’un type de résistances est normale. 10% des résistances excèdent 9,25 ohms et 5% ont une résistance inférieure à 8,5 ohms. Quelles sont la moyenne et l’écart type? Exercice 13 Une école de commerce souhaite recruter cette année au moins 1050 nouveaux étudiants. Cepen- dant, cette école ne peut pas accueillir plus de 1060 étudiants. On sait qu’il y a 60% de chances qu’un étu- diant dont le dossier a été retenu accepte de venir dans cette école. 1. Si l’école retient 1700 dossiers de candidatures, quelle est la probabilité qu’il y ait trop d’étudiants ayant accepté ? 2. Quitte à louer d’autres locaux pour absorber un éventuel trop plein d’étudiants, combien de dossiers cette école doit retenir pour être sûre à 95% d’atteindre ses objectifs de recrutement ? Exercice 14 Un concessionnaire de voitures vend le même jour 7 véhicules identiques à des particuliers. Sachant que la probabilité pour que ce type de voiture soit en état de rouler deux ans après est de 0.9, calculez la probabilité : 1. Que les 7 voitures soient en service deux ans plus tard, 2. Que les 7 voitures soient hors de service deux ans plus tard, 3. Que 4 voitures soient hors de service, 4. Que 3 voitures au plus soient hors de service. Exercice 15 Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert 5000 abonnés. A instant donné, chaque abonné a une probabilité égale à 20% d’être connecté. Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres. 1. On note X la variable aléatoire égale au nombre d’abonnés connectés à un instant t. Quelle est la loi de X ? Quelle est son espérance, son écart-type ? 2. On pose Y = X −1000 √ 800 . Justiﬁer précisément qu’on peut approcher la loi de Y par la loi normale N(0, 1). 3. Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d’accès doit pou- voir gérer pour que sa probabilité d’être saturé à un instant donné soit inférieure à 2, 5%. En utilisant l’approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions (on pourra utiliser une table de la loi normale). Exercice 16 Loi Exponentielle: 1. Une variable aléatoire positive est dite sans mé- moire (ou sans vieillissement ) lorsque, pour tous réels: t ≥0 et h ≥0 alors P(X ≥t + h | X ≥t) = P(X ≥h). Montrer qu’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est sans mémoire. 2. Pour une variable aléatoire X qui suit une loi ex- ponentielle de paramètre λ sans mémoire, on ap- pelle demi-vie la uploads/Voyage/ td-proba.pdf