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Les treillis par la MEF 21 Exercice 8 : Modélisation EF d'une colonne sous son

Les treillis par la MEF 21 Exercice 8 : Modélisation EF d'une colonne sous son poids propre Objectifs : Notion d'erreur de discrétisation, et analyse des résultats EF. Étude de convergence en affinant le maillage. = 6h g x ℓ 1- Établir l'équation matricielle d'un modèle à un élément fini Analyser les résultats aux nœuds (déplacement & efforts) Tracer les résultats sur l'élément (déplacement & efforts) 2- Construire le modèle utilisant deux éléments finis identiques Analyser les résultats aux nœuds (déplacement & efforts) Tracer les résultats sur les éléments (déplacement & efforts) 3- Modèle à 3 éléments, pour affiner le maillage dans la zone la plus contrainte nous utilisons 3 éléments de longueur h, 2h, et 3h. Déduire des calculs précédents l'équation matricielle du modèle. Tracer les résultats sur les éléments (déplacement & efforts) Pour améliorer la solution éléments finis nous avons augmenté le nombre d'éléments et densifié le maillage dans la zone la plus chargée. Cette méthode dite « h convergence » demande en général un nombre élevé d'éléments finis. La figure suivante présente les résultats d’un modèle éléments finis en contraintes planes. Pour quantifier l’erreur relative à cette discrétisation, la démarche est identique à celle de cet exercice, elle est basée sur l’analyse de la discontinuité du champ des contraintes entre deux éléments adjacents. Rappel : la solution analytique est donnée par L’effort normal : 1 6 x N mg h   = − −     Le déplacement : 1 12 mg x u x ES h   = − −     en MPa Dans cette section le diagramme des contraintes est le suivant VM σ solution cherchée solution éléments finis constante par morceau 145 83 62 Discontinuité L’erreur est beaucoup trop importante. Ce modèle n’est pas satisfaisant, il faut affiner le maillage Les treillis par la MEF 22 1- Modèle à 1 élément fini g 1 2 (1) o x gS ρ X1 Modèle à 2 degrés de liberté { } { } 1 2 T U u u = [ ] [ ]       − − = = 1 1 1 1 6 1 h ES K K { } 6 1 2 6 1 2 2 d h mg F gS h ρ        = − = −           La condition de déplacement imposé 1 0 u = ==> { } 1 0 i F X   =     effort de liaison inconnu D’où l'équation matricielle à résoudre : 1 2 0 1 1 1 1 1 1 0 6 2 X ES mg u h −        = − +        −        La solution est : Champ de déplacement : 2 3mgh u ES = − soit une approximation ( ) 2 x mg u x ES = − Effort à l’encastrement : 1 X mg = L’état de contrainte sur l'élément est une constante : 2 6 2 ES mg N u h = = − La solution éléments finis est exacte aux nœuds Elle donne une approximation sur l'élément. Courbes représentant le champ de déplacement et le champ de contrainte. Champ de déplacement Champ de contrainte Le saut de contrainte entre l'information nodale et l'information élémentaire permet de dire que cette modélisation n’est pas satisfaisante Les treillis par la MEF 23 2- Modèle à 2 éléments finis : deux éléments de longueur identique Ce modèle à 3 degrés de liberté { } { } 1 2 3 T U u u u = pour chaque élément : [ ] 1 1 1 1 3 e ES K h −   =   −   et { } 1 1 4 d mg F  = −   L’équation matricielle obtenue après assemblage est : 1 2 3 1 1 0 0 1 1 2 1 2 0 3 4 0 1 1 1 0 X ES mg u h u −               − − = − +              −        1 3 gS ρ (1) g o x X1 2 (2) 6h D’où la solution Déplacements nodaux : 2 9 4 mgh u ES = − et 3 3mgh u ES = − Effort à l’encastrement : 1 X mg = Post-traitement État de contrainte sur les éléments : ( ) 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 ES mg N u h ES mg N u u h  = = −     = − = −   Isolons l'élément N°1 pour calculer l'effort au nœud interne N°2 1 2 21 0 1 1 1 1 1 1 3 4 X ES mg u X h −        = − +        −        21 / 2 X mg = − Reportons ces résultats sur les courbes de la solution analytique Champ de déplacement Champ de contrainte Nous retrouvons les informations exactes (déplacement et efforts) aux nœuds. Une meilleure approximation des champs de déplacements et de contrainte sur les éléments, l’erreur sur la contrainte maximale est maintenant de 25%. Cette modélisation n’est toujours pas satisfaisante. Les treillis par la MEF 24 3- Modèle à 3 éléments L’équation matricielle obtenue après assemblage de ce modèle à 4 degré de liberté est : 1 2 3 4 0 6 6 0 0 1 6 9 3 0 3 0 0 3 5 2 5 0 6 12 0 0 2 2 3 0 X u ES mg u h u −               − −        = − +        − −            −        Sur { } { } 1 2 3 4 T U u u u u = 1 3 gS ρ (1) g o x X1 4 (2) 2 (3) 6h D’où la solution • Déplacements nodaux : 2 11 12 mgh u ES = − , 3 3 4 mgh u ES = − et 4 3mgh u ES = − • Effort à l’encastrement : 1 X mg = • État de contrainte sur les éléments : ( ) ( ) 1 2 2 3 2 3 4 3 11 12 2 2 3 3 4 ES mg N u h ES mg N u u h ES mg N u u h  = = −    = − = −    = − = −   Reportons ces résultats sur les courbes de la solution analytique Champ de déplacement Champ de contrainte L’approximation des champs de déplacements et contraintes sur les éléments est meilleur, erreur de 8% sur la contrainte maximale, on note cependant que la convergence est lente. Pour améliorer la solution éléments finis nous avons augmenté le nombre d'éléments et densifié le maillage dans la zone la plus chargée. Cette méthode dite « h convergence » demande en général un nombre élevé d'éléments finis. Il est possible d'utiliser des éléments de degré 2 qui autorisent une variation linéaire de la contrainte sur l'élément. uploads/Voyage/exo8-corige.pdf