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Public2018 b2 Agrégation externe de mathématiques session Épreuve de modélisation option B Calcul Scienti ?que public -B Résumé On étudie un modèle mathématique de la dynamique des relations amoureuses expliquant les dif ?cultés à maintenir une vie de cou

Agrégation externe de mathématiques session Épreuve de modélisation option B Calcul Scienti ?que public -B Résumé On étudie un modèle mathématique de la dynamique des relations amoureuses expliquant les dif ?cultés à maintenir une vie de couple dans la durée en minimisant une fonctionnelle et en se ramenant à un système d ? équations di ?érentielles Mots clefs Equations di ?érentielles ordinaires Propriétés qualitatives Optimisation Il est rappelé que le jury n ? exige pas une compréhension exhaustive du texte La présentation bien que totalement libre doit être organisée et le jury apprécie qu ? un plan soit annoncé en préliminaire L ? exposé doit être construit en évitant la paraphrase et mettant en lumière les connaissances à partir des éléments du texte Il doit contenir des illustrations informatiques réalisées sur ordinateur ou à défaut des propositions de telles illustrations Des pistes de ré exion indicatives et largement indépendantes les unes des autres vous sont proposées en ?n de texte La dynamique du couple la vie en couple vue comme un problème d ? optimisation Le modèle que nous allons décrire ne discute pas de la dynamique des interactions entre les individus qui forment un couple amoureux le couple y est considéré comme une entité formée sur le désir commun de vivre heureux ensemble et pour toujours En particulier le modèle s ? applique à un couple déjà constitué disons au moment de l ? engagement du mariage ou de la signature d ? un PACS et ne décrit pas l ? embrasement initial de la amme amoureuse Nous allons voir qu ? un modèle mathématique permet de rendre compte du paradoxe selon lequel une part importante des relations de couple ne sont pas durables alors qu ? une relation éternelle et sans nuage semble être un objectif très largement partagé dans la population L ? état du couple est décrit par une mesure du bien-être commun ? une quantité x t dépendant du temps En supposant que la relation s ? établit sur de bonnes bases l ? état initial x est très élevé alors que la rupture se produit lorsque le bien-être passe en-deçà d ? un certain seuil xmin L ? évolution du couple est régie par deux phénomènes une tendance naturelle à l ? érosion du sentiment amoureux décrite par un taux r qui peut être compensée par des actions positives On note par c t les e ?orts réalisés à l ? instant t pour maintenir l ? harmonie du couple L ? évolution du bien-être obéit donc à l ? équation di ?érentielle d x t ??r x t c t dt En France environ des mariages se concluent par un divorce Page CY X C public -B Option B Calcul Scienti ?que La réalisation des e ?orts obéit elle-même à une compétition entre le contentement qu ? ils procurent et les sacri ?ces qu ? ils nécessitent Ces e ?ets sont décrits par ?? Une fonction de contentement U de classe C sur