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Rattrapage corrige 20 Université Cadi Ayyad Département de physique Nom Prénom N Apogée Année Universitaire - JANVIER N Table Note Contrôle de Rattrapage de Mécanique Quantique section SMP S -durée H Le contrôle se présente sous forme de feuille réponse L

Université Cadi Ayyad Département de physique Nom Prénom N Apogée Année Universitaire - JANVIER N Table Note Contrôle de Rattrapage de Mécanique Quantique section SMP S -durée H Le contrôle se présente sous forme de feuille réponse L'étudiant est tenu à répondre par le résultat ?nal de ses calculs La démonstration si elle est demandée doit se faire de manière concise Toute démonstration non demandée sera non comptabilisée dans la note Exercice Puits sphérique in ?ni à dimensions points Une particule libre de masse est con ?née dans un puits sphérique de potentiel in ?niment profond - Donner l'Hamiltonien de la particule Justi ?er le choix de la fonction d'onde Ecrire l'équation radiale On donne l'expression du Laplacien en coordonnées sphériques L'hamiltonien ou le commutateur ou H est la somme d'une partie radiale et une partie angulaire qui commutent ou toute autre explication équivalente nous suggère de poser d'après le théorème du produit tensoriel - On pose Donner l'équation di ?érentielle de ou - On pose justi ?er le choix d'une énergie positive de cette forme Avec les changements montrer que l'équation satisfaite par est de la forme La particule est libre et possède de ce fait une énergie cinétique positive de la forme C Que l'on remplace dans la solution pour obtenir l'équation Avec on obtient - Donner la forme générale de En déduire celle de compte de la condition de continuité à l'origine Expliquer Comment est transformée On donne les fonctions de Bessel sont solutions de l'équation di ?érentielle suivante réel positif La solution générale est de la forme comportement à l'origine A et B réels si on tient Condition de continuité Le deuxième terme diverge pour et vaut B pour l'origine est brisée On posera alors Dans les deux cas la condition de continuité à - Exprimer la fonction radiale en fonction des fonctions de Bessel On donne - On tient compte maintenant de la condition de continuité de au point Traduire cette condition sur la fonction de Bessel Donner les énergies quanti ?ées pour Justi ?er la similitude avec l'énergie d'une particule libre dans un puits de potentiel à une dimension On donne La condition de continuité au point les énergies pour Cpour on confond le Laplacien tridimensionnel avec une dérivée seconde à une dimension ou l'hamiltonien est celui d'une particule libre dans un puits in ?ni à une dimension ou toute autre explication plausible - Donner l'équation permettant de retrouver l'énergie pour On donne les énergies pour sont solutions de l'équation ou - - Faire une résolution graphique qualitative En déduire que les énergies obtenues pour sont quanti ?ées Reporter sur le même graphe la résolution de l'équation obtenue pour Dites si les niveaux énergétiques pour sont systématiquement plus petits ou plus grands que ceux obtenus pour Tracer qualitativement sur un diagramme énergétique les deux premiers niveaux pour et ? diagramme énergétique Les solutions sont in ?nies et discrètes Les énergies pour sont systématiquement plus grandes que celles obtenues pour Exercice Clivage hyper ?n d'un