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Td4 corrige 1 R ?eduction alg ebre bilin ?eaire Ann ?ee - TD N Formes bilin ?eaires ??Formes quadratiques corrig ?e Exercice Les applications suivantes d ?e ?nies de E ? E vers R sont-elles bilin ?eaires sym ?etriques E R b x y x x y y E R b x y x y x y E

R ?eduction alg ebre bilin ?eaire Ann ?ee - TD N Formes bilin ?eaires ??Formes quadratiques corrig ?e Exercice Les applications suivantes d ?e ?nies de E ? E vers R sont-elles bilin ?eaires sym ?etriques E R b x y x x y y E R b x y x y x y E R X b P Q P Q P Q E C R b f g f t g ?? t dt Solution L ? application b x y x x y y sur R Pour x x y et ? on a b x ?x y b et b x y ?b x y Donc b n ? est pas lin ?eaire agauche Par cons ?equent b n ? est pas une forme bilin ?eaire L ? application b x y x y x y sur R Soient x x x x x x et y y y dans R et soit ? ?? R On a b x ?x y x ?x y x ?x y x y x y ? x y x y b x y ?b x y donc b est lin ?eaire a gauche D ? un autre cot ?e pour tous x y y ?? R et tout ? ?? R on a b x y ?y x y ?y x y ?y x y x y ? x y x y b x y ?b x y et donc b est lin ?eaire a droite Ainsi b est une forme bilin ?eaire sur R De plus pour tous x y ?? R on a b y x y x y x x y x y b x y donc b est une forme bilin ?eaire sym ?etrique L ? application b P Q P Q P Q sur R X Soient P P et Q dans R X et soit ? ?? R On a b P ?P Q P ?P Q P ?P Q P Q P Q ? P Q P Q b P Q ?b P Q CR ?eduction alg ebre bilin ?eaire Ann ?ee - donc b est lin ?eaire a gauche D ? un autre cot ?e pour tous P Q Q ?? R X et tout ? ?? R on a b P Q ?Q P Q ?Q P Q ?Q P Q P Q ? P Q P Q b P Q ?b P Q donc b est lin ?eaire a droite Ainsi b est une forme bilin ?eaire sur R X Comme b P Q b Q P par exemple P X et Q alors b n ? est pas sym ?etrique L ? application b f g f t g ?? t dt sur C R Soient f f et g dans C R et soit ? ?? R On a b f ?f g f ?f t g ?? t dt f t g ?? t ?f t g ?? t dt f t g ?? t dt