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Td5 ENS Lyon L Algèbre - TD n Représentations et tables de caractères Exercice Norme d'un élément de CG Soit x g ??G ageg un élément de CG On peut munir CG d'une multiplication de la façon suivante g ??G ageg h ??G bheh g h ??G agbhegh Cette loi est assoc

ENS Lyon L Algèbre - TD n Représentations et tables de caractères Exercice Norme d'un élément de CG Soit x g ??G ageg un élément de CG On peut munir CG d'une multiplication de la façon suivante g ??G ageg h ??G bheh g h ??G agbhegh Cette loi est associative et unitaire de neutre e On peut donc munir CG d'une structure de C-algèbre Montrer que la matrice de l'application x y ? xy dans la base canonique eg g ??G est la matrice G-circulante M agh ?? g h ??G En déduire la norme de x Exercice Table de caractères de S On cherche ici à dresser la table de caractères de S On notera la signature et on rappelle qu'on conna? t une représentation de dimension qui est la représentation standard de S Donner des représentants des classes de conjugaison de S et le cardinal de chacune de ces classes Calculer le caractère de la représentation standard on notera par la suite H pour la représentation standard Montrer que la représentation H est irréductible non isomorphe à H et donner son caractère En faisant agir S sur les paires d'éléments distincts de construire une représentation de dimension de S Montrer que cette représentation se décompose comme somme de trois représentations irréductibles dont la standard et la triviale En déduire que S possède une représentation irréductible qu'on notera W de dimension et calculer son caractère En utilisant l'orthogonalité des caractères montrer que W W n'est pas isomorphe à W Dresser la table de caractères de S Exercice Groupes non abéliens d'ordre Rappeler les classes de conjugaison du groupe dihédral D et ses caractères linéaires En déduire sa table de caractères Notons H i j k le groupe des quaternions o? i j k ?? et k ij ??ji Calculer ses classes de conjugaison et son groupe dérivé Montrer que H possède quatre caractères linéaires distincts En déduire sa table de caractères La comparer avec celle de D Montrer que les deux groupes D et H ne sont pas isomorphes Exercice Décomposition en irréductibles de représentations de S Soit H la représentation standard de S et soit V la représentation irréductible de S de dimension obtenue à partir de la représentation standard de S Déterminer les décompositions en irréductibles des représentations Hom V H et End H Exercice Produits scalaires invariants Soit V une représentation irréductible d'un groupe G Soient et deux produits scalaires hermitiens sur V et invariants sous G Montrer qu'il existe ? tel que ?? ? soit positif mais C C pas dé ni positif Montrer que la condition x x dé nit une sous- représentation de V En déduire que et sont proportionnels Montrer que ce résultat n'est plus vrai lorsque V est réductible C