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Td8 corrige HMIN m ?? Calcul formel codes et cryptographie ?? Romain Lebreton TD El-Gamal preuves de sécurité et di ?culté du logarithme discret corrigé Vous pouvez vous servir de Python pour e ?ectuer les calculs de ce TD Nous vous fournissons des classe

HMIN m ?? Calcul formel codes et cryptographie ?? Romain Lebreton TD El-Gamal preuves de sécurité et di ?culté du logarithme discret corrigé Vous pouvez vous servir de Python pour e ?ectuer les calculs de ce TD Nous vous fournissons des classes pour faire les calculs modulo p dans le ?chier TD -ZpZ py sur Moodle Exercice Un exemple pour Pohlig-Hellman Considérons le problème du logarithme discret dans Z pZ pour p qui est un groupe d ? ordre p p ?? engendré par g Simulez l ? algorithme de Pohlig-Hellman pour réduire le calcul du logarithme discret de h à des logarithmes discrets dans des plus petits groupes Détaillez les calculs sauf ceux des logarithmes discrets dans les plus petits groupes o? les résultats su ?sent C hq gq x mod donne ici mod p hq gq x mod donne ici mod p hq gq x mod donne ici mod p Donc h gx avec x Exercice Un exemple de Baby-Step Giant-Step Considérez le problème du logarithme discret dans Z pZ pour p qui est un groupe engendré par g Simulez l ? exécution de l ? algorithme de Baby-Step Giant-Step pour l ? entrée h C g i ? i et h gj ? j donc on a g h g et h g Exercice Un exemple de El-Gamal dans G Z pZ Soient q et p q premier et considérons le groupe multiplicatif Z pZ Comme le cardinal de ce groupe n ? est pas premier et que c ? était l ? une des recommandations du cours nous allons considérer un sous-groupe G de Z pZ Posons G g i ? i q le sous-groupe des carrés qui est d ? ordre q premier Nous choisirons le générateur g mod pour G Rappelez pourquoi on souhaite que l ? ordre du groupe soit premier C Sinon Pohlig-Hellman permet de calculer le logarithme discret plus rapidement Expliquez pourquoi G est un groupe c ? est-à-dire que ?? G g g ?? G et C que g ?? ?? G pour tout g g ?? G g ?? G g i g j g i j mod q ?? G et g i ?? g q ??i Supposons que Bob choissise la clé secrète Donnez la clé publique C de Bob h g mod Alice souhaite envoyer le message m mod ?? G à Bob Donnez C le chi ?ré correspondant à l ? aléa y c c gy hy ? m mod mod Déchi ?rez le message chi ?ré c reçu par Bob en indiquant toutes les C étapes du calcul m c c x mod C