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Tense ur Tenseur En mathématiques plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie di ?érentielle un tenseur désigne un objet très général dont la valeur s ? exprime dans un espace vectoriel On peut l'utiliser entre autres pour représenter des ap

Tenseur En mathématiques plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie di ?érentielle un tenseur désigne un objet très général dont la valeur s ? exprime dans un espace vectoriel On peut l'utiliser entre autres pour représenter des applications multilinéaires ou des multivecteurs On pourrait abusivement considérer qu'un tenseur est une généralisation à n indices du concept de matrice carrée la matrice possède un indice ligne et un indice colonne ?? un tenseur peut posséder un nombre arbitraire d'indices inférieurs covariants et d'indices supérieurs contravariants à ne pas confondre avec des exposants mais la comparaison s ? arrête là car une matrice n'est qu'un simple tableau de nombres qui peut être utilisé pour représenter des objets abstraits alors que le tenseur est comme les vecteurs et les applications multilinéaires un objet abstrait dont les coordonnées changent lorsqu'on passe d'une représentation dans une base donnée à celle dans une autre base On peut envisager l'outil tenseur dans types d'utilisation di ?érents ? Le cas simple o? on l'utilise pour ses capacités à représenter des objets algébriques complexes et o? on n'a pas besoin des concepts de distances ni d'angles on n'introduira pas de produit scalaire et dans ce cas les coordonnées co-variantes représentent des objets de type application linéaire et les coordonnées contravariantes représentent des objets de type multi- vecteurs En physique les tenseurs sont utilisés pour décrire et manipuler diverses grandeurs et propriétés physiques comme le champ électrique la permittivité les déformations les contraintes etc La première utilisation de la notion et du terme de tenseur s ? est faite dans le cadre de la mécanique des milieux continus en relation avec la nécessité de décrire les contraintes et les déformations subies par les corps étendus à partir de laquelle fut formalisée la mécanique rationnelle En particulier le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations sont utilisés dans la science des constructions pour dé ?nir l'état de tension et de déformation en tout point d'une structure Outre la mécanique des uides et mécanique du solide les tenseurs sont utilisés dans de nombreux autres domaines de la physique tels que l'électromagnétisme Ils sont également largement utilisés en relativité générale pour décrire rigoureusement l'espace-temps comme variété courbe quadridimensionnelle Les tenseurs sont également utilisés en géométrie di ?érentielle pour dé ?nir sur une variété di ?érentielle les notions géométriques de distance d'angle et de volume Cela se fait par le choix d'un tenseur métrique c'est-à-dire un produit scalaire dé ?ni sur l'espace tangent de chaque point Gr? ce à ce concept sont alors dé ?nies et étudiées les questions liées à la courbure de la variété D'autres tenseurs tels que le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci sont des outils importants pour cette étude ? Le cas o? la base est orthonormée et o? il n'y a pas de di ?érence entre coordonnées covariantes et Introduction contravariantes ? Le cas o? la base n'est pas orthonormée et o? le produit scalaire est dé ?ni par un tenseur métrique Dans ce