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Tes 2017 2018 loi densite Lycée JANSON DE SAILLY avril LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES - L I INTRODUCTION Dans di ?érents domaines on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre théoriquement toute valeur réelle d ? un intervalle I d

Lycée JANSON DE SAILLY avril LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES - L I INTRODUCTION Dans di ?érents domaines on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre théoriquement toute valeur réelle d ? un intervalle I de R Ces variables aléatoires sont dites continues C ? est le cas par exemple de la durée du temps d ? attente aux consultations d ? un hôpital ?ctif Temps d ? attente en minutes Fréquences La série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme constitué d ? une juxtaposition de rectangles dont les aires sont proportionnelles aux fréquences Histogramme Polygone des fréquences cumulées On modélise la situation à l ? aide d ? une variable aléatoire X mesurant la durée en heure du temps d ? attente aux consultations de cet hôpital avec X ?? Pour une telle variable aléatoire les évènements étudiés sont ceux qui correspondent à des intervalles du type X ?? X ou X Le calcul de la probabilité P X que le temps d ? attente soit exactement de minutes et secondes n ? a pas de sens Dans le cas d ? une variable aléatoire continue le polygone des fréquences cumulées croissantes est remplacé par la courbe représentative de la fonction de répartition F permettant de calculer des probabilités x On suppose que la fonction F est dé ?nie sur l ? intervalle par F x f t dt o? f est la fonction dé ?nie sur par f t t t ?? t On dit que f est la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X F x x P X x F x f t dt F x x t Fonction de densité x t Fonction de répartition Ainsi pour tout réel x de l ? intervalle F x est l ? aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction de densité f les axes du repère et la droite d ? équation t x On en déduit que ?? P X F f t dt ?? P X F ?? F f t dt ?? P X ?? P X ?? F ?? f t dt A YALLOUZ MATH ES Page sur CLycée JANSON DE SAILLY avril LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES - L II DENSITÉ DE PROBABILITÉ ET LOI DE PROBABILITÉ VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d ? un intervalle I de R est dite continue FONCTION DE DENSITÉ Soit I un intervalle de R On appelle fonction de densité de probabilité sur I toute fonction f dé ?nie continue et positive sur I telle que l ? intégrale de f sur I soit égale à EXEMPLE Véri ?ons que la fonction f dé ?nie pour tout réel t de l ? intervalle par f t t t ?? t est une fonction de densité de probabilité sur ?? La fonction f est dérivable sur donc continue ?? Pour tout réel t t ??