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Texte 3 Actes de l ? Universit ?e d ? ?et ?e de Saint-Flour Le calcul sous toutes ses formes Calcul et g ?eom ?etrie r ?esoudre des ?equations alg ?ebriques Andr ?e Warusfel Inspecteur g ?en ?eral honoraire Comment le calcul de l ? arithm ?etique se rappo

Actes de l ? Universit ?e d ? ?et ?e de Saint-Flour Le calcul sous toutes ses formes Calcul et g ?eom ?etrie r ?esoudre des ?equations alg ?ebriques Andr ?e Warusfel Inspecteur g ?en ?eral honoraire Comment le calcul de l ? arithm ?etique se rapporte aux op ?erations de g ?eom ?etrie Le theme de la r ?esolution des ?equations alg ?ebriques P x ou P est un polyn ome a constitu ?e le c ?ur de l ? algebre depuis la plus haute Antiquit ?e jusqu ? au dix-neuvieme siecle Ses problemes sont clos depuis Ac ot ?e de techniques purement alg ?ebriques de d ?etermination des racines par exemplea l ? aide d ? extractions de racines carr ?ees ou cubiques - la double intervention de ce mot n ? ?etant naturellement pas un hasard la g ?eom ?etrie a aussi jou ?e un r ole essentiel dans ces r ?esolutions ?etudier avec quelques d ?etails ses interventions est a la base de ce texte-ci Le calendrier Voici les dates essentielles et approximatives ainsi plusieurs ann ?ees peuvent s ? ?ecouler entre la conception et la di ?usion d ? une id ?ee Elles concernent tanto t l ? ?uvre de cr ?eateurs Del Ferro Descartes Galois tanto t celle de compilateurs qui ont jou ?e un r ole essentiel de diss ?emination des techniques Euclide Cardan les noms d ? Euclide et Descartes se d ?etachant tout particulierement pour ce qui concerne les m ?ethodes g ?eom ?etriques ? Babylone ?? avant J ?esus-Christ ? Euclide ?? avant J ?esus-Christ ? Diophante ?? apr es J ?esus-Christ ? Al Khwa rizmi ?? ? Del Ferro ? Cardan C ? Vi ete ? Descartes ? Newton et Raphson ? Lagrange ? Abel ? Galois Cet ensemble de recherches couvre donc approximativement trente-cinq si ecles ou m eme davantage E ?quations du premier et du second degr ?e Les premieres ax b sont imm ?ediatesa r ?esoudre il existe une solution unique a savoir x ?? b a car a est suppos ?e non nul sinon l ? on ne parlerait pas de premier degr ?e Les secondes ax bx c sont bien connues de nos ?el eves de lyc ?ee Leurs r ?esolutions d ?ependent du corps dans lequel ?gurent coe ?cients a b c et les diverses racines possibles x Le cas le plus simple est celui des nombres r ?eels Le calcul commence par la d ?etermination du discriminant ? b ?? ac si celui-ci est strictement positif il existe deux solutions distinctes donn ?ees par les ?egalit ?es ?? ?? x ??b a ? ou x ??b ?? a ? s ? il est nul il y en a une seule a savoir x ?? b a En ?n si ? est strictement n ?egatif il n ? y a aucune solution La notion de racine unique nous disons racine double ?etait connue par exemple de Diophante au troisieme siecle apres J ?esus-Christ