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texte2008 google Agrégation externe de mathématiques session Épreuve de modélisation option B Calcul Scienti ?que public Résumé On s ? intéresse à des questions de valeurs propres qui interviennent de façon cruciale dans le fonctionnement des moteurs de r

Agrégation externe de mathématiques session Épreuve de modélisation option B Calcul Scienti ?que public Résumé On s ? intéresse à des questions de valeurs propres qui interviennent de façon cruciale dans le fonctionnement des moteurs de recherche sur Internet Mots clefs Valeurs propres et vecteurs propres de matrice systèmes linéaires Il est rappelé que le jury n ? exige pas une compréhension exhaustive du texte Vous êtes laissé e libre d ? organiser votre discussion comme vous l ? entendez Des suggestions de développement largement indépendantes les unes des autres vous sont proposées en ?n de texte Vous n ? êtes pas tenu e de les suivre Il vous est conseillé de mettre en lumière vos connaissances à partir du ?l conducteur constitué par le texte Le jury appréciera que la discussion soit accompagnée d ? exemples traités sur ordinateur La recherche d ? informations pertinentes sur le Web est un des problèmes les plus cruciaux pour l ? utilisation de de ce dernier Des enjeux économiques colossaux sont en jeu et diverses multinationales se livrent à de grandes man ?uvres Le leader actuel de ce marché Google utilise pour déterminer la pertinence des références fournies un certain nombre d ? algorithmes dont certains sont des secrets industriels jalousement gardés mais d ? autres sont publics On va s ? intéresser ici à l ? algorithme PageRank lequel fait intervenir des valeurs propres et vecteurs propres d ? une énorme matrice La matrice de Google À un moment donné on peut considérer que le Web est une collection de N ?? N pages avec N très très grand de l ? ordre de en octobre La plupart de ces pages incluent des liens hypertextes vers d ? autres pages On dit qu ? elles pointent vers ces autres pages L ? idée de base utilisée par les moteurs de recherche pour classer les pages par ordre de pertinence décroissante consiste à considérer que plus une page est la cible de liens venant d ? autres pages c ? est-à-dire plus il y a de pages qui pointent vers elle plus elle a de chances d ? être ?able et intéressante pour l ? utilisateur ?nal et réciproquement Il s ? agit donc de quanti ?er cette idée c ? est-à-dire d ? attribuer un rang numérique ou score de pertinence à chaque page On se donne donc un ordre arbitraire sur l ? ensemble des pages que l ? on numérote ainsi de i à i N La structure de connectivité du Web peut alors être représentée par une matrice C de taille N ? N telle que ci j si la page j pointe sur la page i ci j sinon Les liens d ? une page sur elle-même ne sont pas signi ?catifs on pose donc cii On observe que la ligne i contient tous les liens signi ?catifs qui pointent sur la page i alors que la colonne j contient tous les liens signi ?catifs présents sur