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2 6 pdf 1 Imprimer Page sur Comportement des sommes au voisinage de pour entier naturel non nul et certaines valeurs de par B Boulehjoul On suppose connues les propriétés classiques de la fonction Gamma en particulier la formule de Gauss et la formule des

Imprimer Page sur Comportement des sommes au voisinage de pour entier naturel non nul et certaines valeurs de par B Boulehjoul On suppose connues les propriétés classiques de la fonction Gamma en particulier la formule de Gauss et la formule des compléments On commence par le cas en donnant une expression intégrale des sommes à la valeur Lemme Corollaire On développe ensuite les formules obtenues en séries entières de Lemme Corollaire On étudie maintenant les séries entières et au voisinage de Un changement http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur de variable dans les expressions de et va permettre de donner un équivalent simple de ces coe ?cients pour un in ?niment grand moyennant un résultat sur la transformation de Laplace Lemme Soit on suppose qu'il existe un réel converge et que avec tel que et alors Corollaire Gr? ce à un résultat classique sur les séries entières réelles on obtient en ?n quelques résultats bien mérités Lemme Soit une série entière réelle de rayon de convergence si et si diverge alors Application Corollaire pour pour http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur Exemples Moyennant et on obtient Avec l'aide des techniques précédentes et d'une expression intégrale de pour on peut préciser la dernière formule du corollaire précédent pour et obtenir un premier résultat pour ? Lemme Corollaire pour pour Quelques formules de trigonométrie vont permettre de nouveaux résultats Lemme http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur Corollaire pour pour pour pour pour http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur pour pour Notes Boulehjoul Agrégé de mathématiques Lycée Essalam Maroc z Démonstrations z Remarque z Bibliographie Démonstrations Lemme Moyennant les hypothèses faites sur la fonction ? ? ? et l'on a sur absolument convergente est continue sur ceci indique son intégrale En appliquant pour et l'identité à et en multipliant chaque membre de l'égalité par on obtient http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur Pour un simple changement de variable fournit la convergence de et sa valeur ceci nous autorise à intégrer l'égalité ci-dessus entre et intégrale est donc convergente la dernière Les fonctions sont continues sur et la double inégalité permet d'a ?rmer que la suite converge simplement sur vers la fonction nulle et satisfait à la condition de domination du théorème de convergence dominée est intégrable par suite et le lemme est démontré convergence de la série incluse en faisant tendre vers dans Corollaire Il su ?t d'appliquer le lemme à puis d'identi ?er les parties réelle et imaginaire dans l'égalité obtenue les séries et les intégrales convergent et l'on a bien les égalités annoncées http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur On notera que la première égalité montre que évident a priori a le signe de ce qui n'était