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Corriges exercice de mmc 2017 1

Mécanique des milieux continus ère année Ingénieurs IC -INPHB Décembre CORRIGES DES EXERCICES DE MMC - Calcul tensoriel Exercice Soit A un champ vectoriel Montrer que l ? on a toujours div rot A Résolution Exercice Soit S un tenseur symétrique et A un tenseur antisymétrique Montrer que l ? on a toujours S A Résolution CExercice Soit A un champ scalaire Montrer que l ? on a toujours rot grad A Résolution C - Cinématique On considère un mouvement dé ?ni dans la base B e e e par sa représentation lagrangienne ? est une constante positive x X cos ? t ?? X sin ?t x X sin ?t X cos ?t x X a Calculer le tenseur gradient F le tenseur des dilatations C et le tenseur des déformations E de ce mouvement au point X et à l ? instant t b A quelle classe particulière appartient-il c Pour un instant t donné calculer la dilation en un point X et dans une direction dX d Pour un instant t donné calculer le glissement en un point X et pour deux directions orthogonales dX et dX ? e On considère un milieu animé de ce mouvement muni d ? une masse volumique homogène ? à l ? instant t Calculer le jacobien de la transformation ainsi que la masse volumique du milieu à l ? instant t f Calculer le champ de vitesse V X t et le champ d ? accélération ? X t en coordonnées lagrangiennes Cg Exprimer les coordonnées initiales à partir des coordonnées actuelles Calculer le champ de vitesse V x t et le champ d ? accélération ? x t en coordonnées eulériennes h Calculer les tenseurs des taux de déformations eulériens D x t et des taux de rotation ? x t Résolution C C C C C - Contraintes En un point M d ? un milieu continu et à l ? instant t la matrice du tenseur de Cauchy dans une base cartésienne orthonormée ?xe B e e e est donnée par l ? expression suivante o? est une constante adimensionnelle ? a Montrer que le calcul des trois contraintes T ei i et l ? utilisation des propriétés des cercles de Mohr permettent de calculer les contraintes principales qu ? on notera ? ? ? Illustrer le cas b Déterminer les valeurs de correspondant à un état triaxial de révolution c Pour la suite on pose Déterminer les directions principales et ? en M d Calculer la contrainte pour une facette de normale n ?? e e Tracer le point correspondant sur le cercle de Mohr Résolution C C C C C C - Elasticité Soit le massif rectangulaire de grande longueur représenté sur la ?gure ci-dessous On pose plusieurs hypothèses - comportement élastique linéaire du matériau de paramètres E et - face supérieure soumise à une pression uniforme p - face inférieure en appui glissant non-frottant ?xée seulement sur l ? axe O e C- forces