Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Corrige td series numeriques

Corrigé TD Séries numériques Exercice Citer les règles de décision sur la convergence des séries numériques On a une condition nécessaire de convergence Si la série ? n ? an converge alors lim ? an Pour les séries à termes positifs ? n ? an Règle de D ? Alembert Si lim n ? ? an an l alors sil la série converge Si l la série diverge Si l on ne peut pas conclure Règle de Cauchy Si lim n ? ? ??n an l on a les mêmes conclusions Pour les séries alternées ? n ? ?? n an avec an ? on a le théorème suivant Si a n est décroissante et lim ? an alors la série ? n ? ?? n a n converge Comparaison avec une intégrale généralisée Si f est une fonctiondécroissante et lim n ? ? f n alors la série ? n ? f n et l ? intégrale généralisée ? ? f x dx sont de même nature Exercice Etudier la nature des séries numériques suivantes ? ? ? ? ? n ? n n n ? ??n n ? n n n ? ?? n n n ? n en ??n ? ? ? ? ln e ??n n ? n ? n n n n ? n ? n n ?? ? ? n ? ln ?? n n ? ?? n ln n n ?? Réponses ? n ? n n diverge car lim ? n n ?? ? n ? ??n diverge car ??n ? n et ? n ? n diverge C ? n ? n n converge car en developpant on obtient n n ? n et ? n ? n converge ? n ? ?? n n diverge car lim ? ?? n n e ?? ? n en ??n diverge car lim n e n ??n ?? n ? ? ? n ? ln e ??n On a ? ln e ??n ? e ??n e n ? e donc la série ln e ??n converge n ? ? n ? n n n On pose an n n n Ona ?? n an n n n ?? n e n nln ?? n Donc lim ? ?? n n e par conséquent la série ? n ? n n n converge ? n ? n c' estune série géométrique de raison donc elle converge il en est de même pour les séries ? n ? et ? n n ?? n ? ? ?? n ln n ? n n ?? estune série alternée On pose an ln n n ?? on montre que a n est décroissnate et tend vers ? n ? ln ?? n Ici on utilise le développement limité de ln ?? x ?? x ?? x x x et on remplace ar n On en déduit que la série ? n ? ln ?? n est convergente Exercice ? On pose un x n x dx