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Gmm examen mstat 2020 2021

UNIVERSITE NATIONALE DES SCIENCES TECHNOLOGIES INGENIERIE ET MATHEMATIQUES UNSTIM ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE GENIE MATHEMATIQUE ET MODELISATION ENSGMM EXAMEN DE MODELISATION STATISTIQUE Niveau G ?enie Math ?ematique et Mod ?elisation Ann ?ee acad ?emique - Dur ?ee h Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction NB Le corrig ?e-type sera disponible apres la composition a l ? adresse sites google com view nicodemeatchade Enseignant Dr ATCHADE Nicod eme Exercice Soit Yi ? i ? n une famille de variables al ?eatoires d ?e ?nie par p Yi kZi k i k pour tout i ?? n ou p est un vecteur compos ?e de p r ?eels inconnus pour ? j ? p les Zi j ? i ? n sont p familles de r ?eels connues et la matrice X Zi j ? i ? n ? j ? p avec par d ?e ?nition Zi pour tout i n On suppose que X est de rang p avec p ? n Pour connu et n n partie enti ere de n avec i i ??N une suite de v a i i d de loi gaussienne centr ?ee r ?eduite i ? i pour ? i ? n et i ? i pour n ? i ? n avec ? ? Par ailleurs pour tout k ?? N ? et pour M une matrice carr ?ee de taille k on note M supU ?? Rk ? MU U ou pour V ?? Rk V V V On rappelle que pour A et B deux matrices carr ?ees de taille k AB ? A B On note Y Yi ? i ? n et i ? i ? n Ecrire le mod ele sous une forme vectorielle en pr ?ecisant la loi de l ? erreur et ? cov Donner l ? expression de la log-vraisemblance de Y Yn En supposant ? et ? connus d ?eterminer sous forme matricielle l ? estimateur par maximum de vraisemblance En supposant connu d ?eterminer explicitement les estimateurs ? et ? de ? et ? respectivement par maximum de vraisemblance Expliquer pourquoi une expression explicite de l ? estimateur par maximum de vraisemblance de ? et ? n ? est pas possible a obtenir dans le cas g ?en ?eral ou ? et ? sont inconnus On va estimer ces param etres en temps On commence par estimer par moindres carr ?es ordinaires et on note cet estimateur Rappeler son expression donner son esp ?erance et sa matrice de covariance On note Z respectivement Z la matrice de taille n p dont les lignes de a n respectivement de n a n sont celles de X et les lignes de n a n respectivement de a n sont constitu ?ees de Montrer que pour tout U ?? Rn X XU Z Z U Z Z U En d ?eduire que max Z Z Z Z ? X X C Exprimer X ?X en fonction de ? ?