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Cm geometrie2 l3e 2020 1 COURS L E MATHÉMATIQUES UE GÉOMÉTRIE ? T Introduction Géométrie s et démonstration Deux points de vue sur la géométrie a ?ne Des démonstrations défectueuses en géométrie élémentaire D ? Euclide à Hilbert La géométrie de Hilbert Ax

COURS L E MATHÉMATIQUES UE GÉOMÉTRIE ? T Introduction Géométrie s et démonstration Deux points de vue sur la géométrie a ?ne Des démonstrations défectueuses en géométrie élémentaire D ? Euclide à Hilbert La géométrie de Hilbert Axiomes d ? incidence L ? axiome des parallèles Axiomes d ? ordre Axiomes de congruence pour les segments Axiomes de congruence pour les angles Plans hilbertiens et euclidiens Polygones réguliers constructibles à la règle et au compas Une construction à la règle et au compas du pentagone régulier Références S M D M Année universitaire - C CCM L E GÉOMÉTRIE I G Deux points de vue sur la géométrie a ?ne Dans les enseignements secondaire et supérieur on rencontre deux points de vue opposés ? sur la géométrie a ?ne Un espace a ?ne est un ensemble de points il contient des droites des plans et la géométrie a ?ne discute par exemple des relations entre ces points et ces droites points alignés droites parallèles ou concourantes Pour dé ?nir ces objets et décrire leurs relations on peut ?? énoncer une liste d ? axiomes d ? incidence principalement comme par deux points passe une droite et une seule ? C ? est la voie d ? Euclide et plus récemment de Hilbert Même si la démarche et a fortiori les axiomes eux-mêmes n ? y sont pas explicités c ? est cette méthode qui est utilisée actuellement dans l ? enseignement secondaire français ?? décider que l ? essentiel est que deux points déterminent un vecteur et tout dé ?nir à l ? aide de l ? algèbre linéaire c ? est-à-dire par les axiomes dé ?nissant les espaces vectoriels J ? ai choisi de développer ici la deuxième méthode parce qu ? elle est plus abstraite et plus nette bien sûr mais surtout parce que je crois qu ? il est temps en licence de mathématiques de montrer aux étudiants que l ? algèbre linéaire qu ? on leur a enseignée pendant deux ans sert ? à quelque chose Audin p Des démonstrations défectueuses en géométrie élémentaire Dans les démonstrations de la géométrie élémentaire on peut rencontrer deux sortes de défauts ?? la démonstration est provisoirement défectueuse parce qu ? elle incorpore sans le dire un axiome implicite ?? la démonstration est irréparablement défectueuse parce qu ? elle se fonde de manière erronée sur une intuition construite à partir d ? un diagramme incorrect Nous allons considérer deux exemples Construire un triangle équilatéral Nous commencerons par examiner la première proposition des Éléments d ? Euclide Proposition Eléments I Sur une droite limitée donnée construire un triangle équilatéral Construction Triangle équilatéral Soit AB la droite limitée donnée Il faut alors construire un triangle équilatéral sur la droite AB Que du centre A et au moyen de l ? intervalle AB soit décrit le cercle BCD Demande et qu ? ensuite du centre B et au moyen de l ? intervalle BA soit décrit le cercle ACE Demande et que du